Let q be a prime power, let ${\mathbb{F}}_q$ be the finite field with q elements and let θ be a generator of the cyclic group ${\mathbb{F}}_q^{⁎}$. For each $a\in {\mathbb{F}}_q^{⁎}$, let ${\log }_{\theta }a$ be the unique integer $i\in \{1,\dots ,q-1\}$ such that $a={\theta }^i$. Given polynomials $P_1,\dots ,P_k\in {\mathbb{F}}_q[x]$ and divisors $1<d_1,\dots ,d_k$ of $q-1$, we discuss the distribution of the functions$F_i:y\mapsto {\log }_{\theta }{P}_i(y)(\mathrm{mod}{d}_i),$ over the set ${\mathbb{F}}_q\setminus {\cup }_{i=1}^k\{y\in {\mathbb{F}}_q|P_i(y)=0\}$. Our main result entails that, under a natural multiplicative condition on the pairs $(d_i,P_i)$, the functions $F_i$ are asymptotically independent. We also provide some applications that, in particular, relates to past work.

令q为素幂，令${\mathbb{F}}_q$是具有q 个元素的有限域，并令θ是循环群的生成器${\mathbb{F}}_q^{⁎}$. 对于每个$\mathrm{一种}\in {\mathbb{F}}_q^{⁎}$， 让 ${\mathrm{日志}}_{\theta }\mathrm{一种}$ 是唯一的整数 $\mathrm{一世}\in \{1,\dots ,q-1\}$ 以至于 $\mathrm{一种}={\theta }^{\mathrm{一世}}$. 给定多项式${磷}_1,\dots ,{磷}_{克}\in {\mathbb{F}}_q[X]$ 和除数 $1<d_1,\dots ,d_{克}$ 的 $q-1$，我们讨论函数的分布$F_{\mathrm{一世}}：是\mapsto {\mathrm{日志}}_{\theta }{磷}_{\mathrm{一世}}(是)(\mathrm{模组}{d}_{\mathrm{一世}}),$ 套上 ${\mathbb{F}}_q\setminus {\cup }_{\mathrm{一世}=1}^{克}\{是\in {\mathbb{F}}_q|{磷}_{\mathrm{一世}}(是)=0\}$. 我们的主要结果表明，在对的自然乘法条件下$(d_{\mathrm{一世}},{磷}_{\mathrm{一世}})$, 函数 $F_{\mathrm{一世}}$是渐近独立的。我们还提供了一些应用程序，特别是与过去的工作相关的应用程序。