SIAM Journal on Computing, Ahead of Print.
In the classical node-disjoint paths (\sf NDP) problem, the input consists of an undirected $n$-vertex graph $G$, and a collection ${\mathcal M}=\{(s_1,t_1),\ldots,(s_k,t_k)\}$ of pairs of its vertices, called source-destination, or demand pairs. The goal is to route the largest possible number of the demand pairs via node-disjoint paths. The best current approximation for the problem is achieved by a simple greedy algorithm, whose approximation factor is $O(\sqrt n)$, while the best previous negative result is an $\Omega(\log^{1/2-\delta}n)$-hardness of approximation for any constant $\delta$, under standard complexity assumptions. Even seemingly simple special cases of the problem are still poorly understood: when the input graph is a grid, the best current algorithm achieves an $\tilde O(n^{1/4})$-approximation, and when it is a general planar graph, the best current approximation ratio of an efficient algorithm is $\tilde O(n^{9/19})$. The best previous lower bound on the approximability of both these versions of the problem is APX-hardness. In this paper, we prove that \sf NDP is $2^{\Omega(\sqrt{\log n})}$-hard to approximate, unless all problems in \sf NP have algorithms with running time $n^{O(\log n)}$. Our result holds even when the underlying graph is a planar graph with maximum vertex degree $3$, and all source vertices lie on the boundary of a single face (but the destination vertices may lie anywhere in the graph). We extend this result to the closely related edge-disjoint paths (\sf EDP) problem, showing the same hardness of approximation ratio even for subcubic planar graphs with all sources lying on the boundary of a single face.

中文翻译：

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在不相交路径上布线的新硬度结果

《 SIAM计算杂志》，预印本。
在经典节点不相交路径（\ sf NDP）问题中，输入由无向$ n $-顶点图$ G $和集合$ {\ mathcal M} = \ {（s_1，t_1），\ ldots组成，（s_k，t_k）\} $的成对的顶点对，称为源-目标或需求对。目标是通过节点不相交的路径路由最大数量的需求对。该问题的最佳当前近似值是通过简单的贪心算法获得的，其近似因子为$ O（\ sqrt n）$，而最佳的先前负结果是$ \ Omega（\ log ^ {1 / 2- \ delta } n）在标准复杂性假设下，任何常数$ \ delta $的近似近似硬度。即使是看似简单的问题的特殊情况，也仍然难以理解：当输入图是网格时，最佳的当前算法达到$ \ tilde O（n ^ {1/4}）$近似值，当它是一个普通的平面图时，一种有效算法的最佳电流逼近比为\\波浪线O（n ^ {9/19}）$。这两个版本的问题的近似性的最佳先前下限是APX硬度。在本文中，我们证明\ sf NDP为$ 2 ^ {\ Omega（\ sqrt {\ log n}）} $-难以近似，除非\ sf NP中的所有问题都有运行时间为$ n ^ {O（ \ log n）} $。即使基础图是具有最大顶点度$ 3 $的平面图，并且所有源顶点都位于单个面的边界上（但目标顶点可能位于图中的任何位置），我们的结果仍然成立。我们将此结果扩展到紧密相关的边不相交路径（\ sf EDP）问题，即使对于所有源都位于单个面边界上的亚三次平面图，也显示出相同的近似比率硬度。有效算法的最佳当前近似比率为\\波浪线O（n ^ {9/19}）$。这两个版本的问题的近似性的最佳先前下限是APX硬度。在本文中，我们证明\ sf NDP为$ 2 ^ {\ Omega（\ sqrt {\ log n}）} $-难以近似，除非\ sf NP中的所有问题都有运行时间为$ n ^ {O（ \ log n）} $。即使基础图是具有最大顶点度$ 3 $的平面图，并且所有源顶点都位于单个面的边界上（但目标顶点可能位于图中的任何位置），我们的结果仍然成立。我们将此结果扩展到密切相关的边不相交路径（\ sf EDP）问题，即使对于所有源都位于单个面边界上的亚三次平面图，也显示出相同的近似比率硬度。有效算法的最佳当前近似比率为\\波浪线O（n ^ {9/19}）$。这两个版本的问题的近似性的最佳先前下限是APX硬度。在本文中，我们证明\ sf NDP为$ 2 ^ {\ Omega（\ sqrt {\ log n}）} $-难以近似，除非\ sf NP中的所有问题都有运行时间为$ n ^ {O（ \ log n）} $。即使基础图是具有最大顶点度$ 3 $的平面图，并且所有源顶点都位于单个面的边界上（但目标顶点可能位于图中的任何位置），我们的结果仍然成立。我们将此结果扩展到密切相关的边不相交路径（\ sf EDP）问题，即使对于所有源都位于单个面边界上的亚三次平面图，也显示出相同的近似比率硬度。