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Koopman Analysis of Isolated Fronts and Solitons
SIAM Journal on Applied Dynamical Systems ( IF 2.1 ) Pub Date : 2020-12-17 , DOI: 10.1137/19m1305033
Jeremy P. Parker , Jacob Page

SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, Volume 19, Issue 4, Page 2803-2828, January 2020.
A Koopman decomposition of a complex system leads to a representation in which nonlinear dynamics appear to be linear. The existence of a linear framework with which to analyze nonlinear dynamical systems brings new strategies for prediction and control, while the approach is straightforward to apply to large datasets using dynamic mode decomposition (DMD). However, it can be challenging to connect the output of DMD to a Koopman analysis since there are relatively few analytical results available, while the DMD algorithm itself is known to struggle in situations involving the propagation of a localized structure through the domain. Motivated by these issues, we derive a series of Koopman decompositions for localized, finite-amplitude solutions of classical nonlinear PDEs for which transformations to linear systems exist. We demonstrate that nonlinear traveling wave solutions to both the Burgers and KdV equations have two Koopman decompositions; one of which converges upstream and another which converges downstream of the soliton or front. These results are shown to generalize to the interaction of multiple solitons in the KdV equation. The existence of multiple expansions in space and time has a critical impact on the ability of DMD to extract Koopman eigenvalues and modes---which must be performed within a temporally and spatially localized window to correctly identify the separate expansions. We provide evidence that these features may be generic for isolated nonlinear structures by applying DMD to a moving breather solution of the sine-Gordon equation.


中文翻译:

孤立的前沿和孤子的Koopman分析

SIAM应用动力系统杂志,第19卷,第4期,第2803-2828页,2020年1月。
复杂系统的Koopman分解导致非线性动力学似乎是线性的表示。用于分析非线性动力系统的线性框架的存在为预测和控制带来了新的策略,而该方法可直接应用于使用动态模式分解(DMD)的大型数据集。但是,将DMD的输出连接到Koopman分析可能是一个挑战,因为可用的分析结果相对较少,而已知DMD算法本身在涉及局部结构通过域传播的情况下会遇到困难。受这些问题的影响,我们为经典非线性PDE的局部有限振幅解导出了一系列Koopman分解,对于这些解存在线性系统。我们证明了Burgers和KdV方程的非线性行波解都有两个Koopman分解。其中一个会聚在孤子或前端的上游,另一个会聚在孤子或前端的下游。这些结果表明可以推广到KdV方程中多个孤子的相互作用。时空多重扩展的存在对DMD提取库普曼特征值和模态的能力具有关键影响-必须在时间和空间局部窗口内执行此操作才能正确识别单独的扩展。我们提供的证据表明,通过将DMD应用于正弦-戈登方程的运动通气解,这些特性对于孤立的非线性结构可能是通用的。其中一个会聚在孤子或前端的上游,另一个会聚在孤子或前端的下游。这些结果表明可以推广到KdV方程中多个孤子的相互作用。时空多重扩展的存在对DMD提取库普曼特征值和模态的能力具有至关重要的影响-必须在时间和空间局部窗口内执行此操作以正确识别单独的扩展。我们提供的证据表明,通过将DMD应用于正弦-戈登方程的运动通气解,这些特性对于孤立的非线性结构可能是通用的。其中一个会聚在孤子或前端的上游,另一个会聚在孤子或前端的下游。这些结果表明可以推广到KdV方程中多个孤子的相互作用。时空多重扩展的存在对DMD提取库普曼特征值和模态的能力具有关键影响-必须在时间和空间局部窗口内执行此操作才能正确识别单独的扩展。通过将DMD应用于正弦-戈登方程的运动通气解,我们提供了这些特征对于孤立的非线性结构可能是通用的。时空多重扩展的存在对DMD提取库普曼特征值和模态的能力具有关键影响-必须在时间和空间局部窗口内执行此操作才能正确识别单独的扩展。通过将DMD应用于正弦-戈登方程的运动通气解,我们提供了这些特征对于孤立的非线性结构可能是通用的。时空多重扩展的存在对DMD提取库普曼特征值和模态的能力具有关键影响-必须在时间和空间局部窗口内执行此操作才能正确识别单独的扩展。通过将DMD应用于正弦-戈登方程的运动通气解,我们提供了这些特征对于孤立的非线性结构可能是通用的。
更新日期:2020-12-18
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