Abstract We outline the transition from classical probability space (Ω, A, p) to its "divisible" extension, where (as proposed by L. A. Zadeh) the σ-field A of Boolean random events is extended to the class 𝓜(A) of all measurable functions into [0,1] and the σ-additive probability measure p on A is extended to the probability integral ∫(·) dp on 𝓜(A). The resulting extension of (Ω, A,p) can be described as an epireflection reflecting A to 𝓜(A) and p to ∫(·) dp. The transition from A to 𝓜(A), resembling the transition from whole numbers to real numbers, is characterized by the extension of two-valued Boolean logic on A to multivalued Łukasiewicz logic on 𝓜(A) and the divisibility of random events: for each random event u ∈ 𝓜(A) and each positive natural number n we have u/n ∈ 𝓜(A) and ∫(u/n) dp = (1/n) ∫u dp. From the viewpoint of category theory, objects are of the form 𝓜(A), morphisms are observables from one object into another one and serve as channels through which stochastic information is conveyed. We study joint random experiments and asymmetrical stochastic dependence/independence of one constituent experiment on the other one. We present a canonical construction of conditional probability so that observables can be viewed as conditional probabilities. In the present paper we utilize various published results related to "quantum and fuzzy" generalizations of the classical theory, but our ultimate goal is to stress mathematical (categorical) aspects of the transition from classical to what we call divisible probability.

中文翻译：

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概率的可分扩展

摘要 我们概述了从经典概率空间 (Ω, A, p) 到其“可分”扩展的过渡，其中（由 LA Zadeh 提出）布尔随机事件的 σ 场 A 扩展到类 𝓜(A)将所有可测量的函数转化为 [0,1]，并且将 A 上的 σ 可加概率测度 p 扩展到 𝓜(A) 上的概率积分 ∫(·) dp。由此产生的 (Ω, A,p) 的扩展可以描述为将 A 反射到 𝓜(A) 和 p 到 ∫(·) dp 的表面反射。从 A 到𝓜(A) 的转变，类似于从整数到实数的转变，其特点是将 A 上的二值布尔逻辑扩展到𝓜(A) 上的多值 Łukasiewicz 逻辑以及随机事件的可整性：对于每个随机事件 u ∈ 𝓜(A) 和每个正自然数 n 我们有 u/n ∈ 𝓜(A) 和 ∫(u/n) dp = (1/n) ∫u dp。从范畴论的观点来看，对象的形式是𝓜(A)，态射是从一个对象到另一个对象的可观察对象，并作为传递随机信息的通道。我们研究了一个组成实验对另一个组成实验的联合随机实验和不对称随机依赖/独立性。我们提出了条件概率的规范构造，以便可以将可观察量视为条件概率。在本文中，我们利用了与经典理论的“量子和模糊”概括相关的各种已发表的结果，但我们的最终目标是强调从经典到我们所谓的可分概率过渡的数学（分类）方面。态射是从一个对象到另一个对象的可观察对象，并作为传递随机信息的渠道。我们研究了一个组成实验对另一个组成实验的联合随机实验和不对称随机依赖/独立性。我们提出了条件概率的规范构造，以便可以将可观察量视为条件概率。在本文中，我们利用了与经典理论的“量子和模糊”概括相关的各种已发表的结果，但我们的最终目标是强调从经典到我们所谓的可分概率过渡的数学（分类）方面。态射是从一个对象到另一个对象的可观察对象，并作为传递随机信息的渠道。我们研究了一个组成实验对另一个组成实验的联合随机实验和不对称随机依赖/独立性。我们提出了条件概率的规范构造，以便可以将可观察量视为条件概率。在本文中，我们利用了与经典理论的“量子和模糊”概括相关的各种已发表的结果，但我们的最终目标是强调从经典到我们所谓的可分概率过渡的数学（分类）方面。我们研究了一个组成实验对另一个组成实验的联合随机实验和不对称随机依赖/独立性。我们提出了条件概率的规范构造，以便可以将可观察量视为条件概率。在本文中，我们利用了与经典理论的“量子和模糊”概括相关的各种已发表的结果，但我们的最终目标是强调从经典到我们所谓的可分概率过渡的数学（分类）方面。我们研究了一个组成实验对另一个组成实验的联合随机实验和不对称随机依赖/独立性。我们提出了条件概率的规范构造，以便可以将可观察量视为条件概率。在本文中，我们利用了与经典理论的“量子和模糊”概括相关的各种已发表的结果，但我们的最终目标是强调从经典到我们所谓的可分概率过渡的数学（分类）方面。