Let $K$ be the function field of a smooth, irreducible curve defined over $\overline{\mathbb{Q}}$. Let $f\in K[x]$ be of the form $f(x)=x^q+c$ where $q = p^{r}, r \ge 1,$ is a power of the prime number $p$, and let $\beta\in \overline{K}$. For all $n\in\mathbb{N}\cup\{\infty\}$, the Galois groups $G_n(\beta)=\mathop{\rm{Gal}}(K(f^{-n}(\beta))/K(\beta))$ embed into $[C_q]^n$, the $n$-fold wreath product of the cyclic group $C_q$. We show that if $f$ is not isotrivial, then $[[C_q]^\infty:G_\infty(\beta)]<\infty$ unless $\beta$ is postcritical or periodic. We are also able to prove that if $f_1(x)=x^q+c_1$ and $f_2(x)=x^q+c_2$ are two such distinct polynomials, then the fields $\bigcup_{n=1}^\infty K(f_1^{-n}(\beta))$ and $\bigcup_{n=1}^\infty K(f_2^{-n}(\beta))$ are disjoint over a finite extension of $K$.

中文翻译：

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单临界多项式的迭代伽罗瓦群的有限索引定理

令 $K$ 是定义在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上的平滑不可约曲线的函数域。令 $f\in K[x]$ 的形式为 $f(x)=x^q+c$ 其中 $q = p^{r}, r \ge 1,$ 是素数 $ 的幂p$，让 $\beta\in \overline{K}$。对于所有 $n\in\mathbb{N}\cup\{\infty\}$，伽罗瓦群 $G_n(\beta)=\mathop{\rm{Gal}}(K(f^{-n}( \beta))/K(\beta))$ 嵌入到 $[C_q]^n$ 中，即循环群 $C_q$ 的 $n$ 折​​花环积。我们证明，如果 $f$ 不是等平凡的，那么 $[[C_q]^\infty:G_\infty(\beta)]<\infty$ 除非 $\beta$ 是后临界或周期性的。我们还可以证明，如果 $f_1(x)=x^q+c_1$ 和 $f_2(x)=x^q+c_2$ 是两个这样不同的多项式，那么域 $\bigcup_{n=1} ^\infty K(f_1^{-n}(\beta))$ 和 $\bigcup_{n=1}^\infty K(f_2^{-n}(\beta))$ 在有限扩展上不相交$K$。