Abstract

Let $\mu (I)$ denote the number of generators of a monomial ideal I. It is well known that $\mu (I^k)<\mu (I^{k+1})$ for $k\gg 0.$ In this paper we construct monomial ideals I in $F[x,y]$ such that $\mu (I^{k+1})<\mu (I^k)$ for all $k\le l,$ given any positive integer l. Also, we extend some results of Eliahou et al. by constructing monomial ideals in $R=F[x_1,\dots ,x_n]$ with $\mu (I^2)<\mu (I)$ and investigate $\mu (I^k)$ for monomial ideals in R. Furthermore, we generalize the definition of Freiman ideals given in Herzog and Zhu and extend some results with simpler proofs. In particular, we give a complete characterization of Freiman ideals of maximum height in R.

摘要

让 $\mu （\mathrm{一世}）$表示单项式理想值I的生成器数。众所周知$\mu （{\mathrm{一世}}^{ķ}）<\mu （{\mathrm{一世}}^{ķ+\mathrm{1个}}）$ 对于 $ķ\gg 0。$在本文中，我们建立单项的理想我在$F[X，ÿ]$ 这样 $\mu （{\mathrm{一世}}^{ķ+\mathrm{1个}}）<\mu （{\mathrm{一世}}^{ķ}）$ 对全部 $ķ\le 升，$给定任何正整数l。此外，我们扩展了Eliahou等人的一些结果。通过建立单项式理想$\mathrm{[R}=F[X_{\mathrm{1个}}，\dots ，X_{ñ}]$ 与 $\mu （{\mathrm{一世}}^2）<\mu （\mathrm{一世}）$ 并调查 $\mu （{\mathrm{一世}}^{ķ}）$R中的单项式理想。此外，我们对Herzog和Zhu中给出的Freiman理想的定义进行了概括，并用更简单的证明扩展了一些结果。特别是，我们给出了R中最大高度的弗赖曼理想的完整刻画。