SIAM Journal on Scientific Computing, Volume 42, Issue 6, Page A3825-A3858, January 2020.
Fourier analysis has been shown to provide valuable insight into the dispersion and dissipation characteristics of numerical schemes for PDEs. Applying Fourier analysis to discontinuous Galerkin (DG) methods results in an eigenvalue problem with multiple eigenmodes. It was often relied on one of these modes, the so-called physical-mode, for studying the dispersion and dissipation behavior. The effect of the other modes was considered spurious and typically neglected. Recently, a new approach, the combined-mode approach, was proposed for the linear wave equation, in which all modes are considered. In this paper, we apply the combined-mode approach to a number of DG methods for diffusion. We show that for the linear parabolic heat equation, the physical-mode behavior is completely different than the exact diffusion, over a wide range of wavenumbers, and sometimes nondissipative. In contrast, the combined-mode behavior is more consistent and sufficiently accurate in comparison with the exact diffusion for the whole wavenumber range. This approach also revealed that short time and long time diffusion behaviors are very different for high-order multi--degrees of freedom methods. Additionally, using this approach we conduct a comparative diffusion analysis between a number of popular DG methods for diffusion in one and two dimensions. We also provide a study on the influence of the penalty parameter on their behavior. The considered methods include the symmetric interior penalty, Bassi and Rebay, and the local and compact DG methods. The results are verified numerically through several test cases.

中文翻译：

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线性抛物线问题的DG方法的组合模式傅里叶分析

SIAM科学计算杂志，第42卷，第6期，第A3825-A3858页，2020年1月。
傅立叶分析已显示出对PDE数值方案的色散和耗散特性的宝贵见解。将傅里叶分析应用于不连续Galerkin（DG）方法会导致具有多个特征模式的特征值问题。在研究色散和耗散行为时，通常依靠这些模式之一，即所谓的物理模式。其他模式的影响被认为是虚假的，通常被忽略。最近，针对线性波动方程提出了一种新方法，即组合模式方法，其中考虑了所有模式。在本文中，我们将组合模式方法应用于许多用于扩散的DG方法。我们表明，对于线性抛物线热方程，在大范围的波数范围内，物理模式行为与精确扩散完全不同，有时无耗散。相反，与整个波数范围的精确扩散相比，组合模式的行为更加一致且足够准确。该方法还表明，对于高阶多自由度方法，短时间和长时间的扩散行为有很大不同。此外，使用这种方法，我们对一维和二维扩散的许多流行DG方法进行了比较扩散分析。我们还提供了惩罚参数对其行为的影响的研究。考虑的方法包括对称内部罚分，Bassi和Rebay以及局部和紧凑DG方法。通过几个测试案例对结果进行了数值验证。与整个波数范围的精确扩散相比，组合模式的行为更加一致且足够准确。该方法还表明，对于高阶多自由度方法，短时间和长时间的扩散行为有很大不同。此外，使用这种方法，我们在许多流行的DG方法在一维和二维中进行了比较扩散分析。我们还提供了惩罚参数对其行为的影响的研究。考虑的方法包括对称内部罚分，Bassi和Rebay以及局部和紧凑DG方法。通过几个测试案例对结果进行了数值验证。与整个波数范围的精确扩散相比，组合模式的行为更加一致且足够准确。该方法还表明，对于高阶多自由度方法，短时间和长时间的扩散行为有很大不同。此外，使用这种方法，我们在许多流行的DG方法在一维和二维中进行了比较扩散分析。我们还提供了惩罚参数对其行为的影响的研究。考虑的方法包括对称内部罚分，Bassi和Rebay以及局部和紧凑DG方法。通过几个测试案例对结果进行了数值验证。该方法还表明，对于高阶多自由度方法，短时间和长时间的扩散行为有很大不同。此外，使用这种方法，我们在许多流行的DG方法在一维和二维中进行了比较扩散分析。我们还提供了惩罚参数对其行为的影响的研究。考虑的方法包括对称内部罚分，Bassi和Rebay以及局部和紧凑DG方法。通过几个测试案例对结果进行了数值验证。该方法还表明，对于高阶多自由度方法，短时间和长时间的扩散行为有很大不同。此外，使用这种方法，我们在许多流行的DG方法在一维和二维中进行了比较扩散分析。我们还提供了惩罚参数对其行为的影响的研究。考虑的方法包括对称内部罚分，Bassi和Rebay以及局部和紧凑DG方法。通过几个测试案例对结果进行了数值验证。我们还提供了惩罚参数对其行为的影响的研究。考虑的方法包括对称内部罚分，Bassi和Rebay以及局部和紧凑DG方法。通过几个测试案例对结果进行了数值验证。我们还提供了惩罚参数对其行为的影响的研究。考虑的方法包括对称内部罚分，Bassi和Rebay以及局部和紧凑DG方法。通过几个测试案例对结果进行了数值验证。