Conditional value-at-risk is a popular risk measure in risk management. We study the inference problem of conditional value-at-risk under a linear predictive regression model. We derive the asymptotic distribution of the least squares estimator for the conditional value-at-risk. Our results relax the model assumptions made in Chun et al. (2012) and correct their mistake in the asymptotic variance expression. We show that the asymptotic variance depends on the quantile density function of the unobserved error and whether the model has a predictor with infinite variance, which makes it challenging to actually quantify the uncertainty of the conditional risk measure. To make the inference feasible, we then propose a smooth empirical likelihood based method for constructing a confidence interval for the conditional value-at-risk based on either independent errors or GARCH errors. Our approach not only bypasses the challenge of directly estimating the asymptotic variance but also does not need to know whether there exists an infinite variance predictor in the predictive model. Furthermore, we apply the same idea to the quantile regression method, which allows infinite variance predictors and generalizes the parameter estimation in Whang (2006) to conditional value-at-risk in the supplementary material. We demonstrate the finite sample performance of the derived confidence intervals through numerical studies before applying them to real data.

中文翻译：

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预测回归的条件风险值的推断

有条件的风险价值是风险管理中流行的风险度量。我们研究了线性预测回归模型下条件风险价值的推理问题。我们推导出条件风险价值的最小二乘估计量的渐近分布。我们的结果放宽了 Chun 等人所做的模型假设。(2012) 并纠正他们在渐近方差表达式中的错误。我们表明渐近方差取决于未观察到的误差的分位数密度函数以及模型是否具有无限方差的预测变量，这使得实际量化条件风险度量的不确定性具有挑战性。为了使推理可行，然后，我们提出了一种基于平滑经验似然的方法，用于基于独立误差或 GARCH 误差为条件风险价值构建置信区间。我们的方法不仅绕过了直接估计渐近方差的挑战，而且不需要知道预测模型中是否存在无限方差预测器。此外，我们将相同的想法应用于分位数回归方法，该方法允许无限方差预测变量并将 Whang (2006) 中的参数估计推广到补充材料中的条件风险价值。在将它们应用于实际数据之前，我们通过数值研究证明了派生置信区间的有限样本性能。我们的方法不仅绕过了直接估计渐近方差的挑战，而且不需要知道预测模型中是否存在无限方差预测器。此外，我们将相同的想法应用于分位数回归方法，该方法允许无限方差预测变量并将 Whang (2006) 中的参数估计推广到补充材料中的条件风险价值。在将它们应用于实际数据之前，我们通过数值研究证明了派生置信区间的有限样本性能。我们的方法不仅绕过了直接估计渐近方差的挑战，而且不需要知道预测模型中是否存在无限方差预测器。此外，我们将相同的想法应用于分位数回归方法，该方法允许无限方差预测变量并将 Whang (2006) 中的参数估计推广到补充材料中的条件风险价值。在将它们应用于实际数据之前，我们通过数值研究证明了派生置信区间的有限样本性能。它允许无限方差预测变量并将 Whang (2006) 中的参数估计推广到补充材料中的条件风险价值。在将它们应用于实际数据之前，我们通过数值研究证明了派生置信区间的有限样本性能。它允许无限方差预测变量并将 Whang (2006) 中的参数估计推广到补充材料中的条件风险价值。在将它们应用于实际数据之前，我们通过数值研究证明了派生置信区间的有限样本性能。