We develop backstepping state feedback control to stabilize a moving shockwave in a freeway segment under bilateral boundary actuations of traffic flow. A moving shockwave, consisting of light traffic upstream of the shockwave and heavy traffic downstream, is usually caused by changes of local road situations. The density discontinuity travels upstream and drivers caught in the shockwave experience transitions from free to congested traffic. Boundary control design in this paper brings the moving shockwave front to a static setpoint position, hindering the upstream propagation of traffic congestion. The traffic dynamics are described with Lighthill-Whitham-Richard (LWR) model, leading to a system of two first-order hyperbolic partial differential equations (PDEs). Each represents the traffic density of a spatial domain segregated by the moving interface. By Rankine-Hugoniot condition, the interface position is driven by flux discontinuity and thus governed by a PDE state dependent ordinary differential equation (ODE). For the PDE-ODE coupled system. the control objective is to stabilize both the PDE states of traffic density and the ODE state of moving shock position to setpoint values. Using delay representation and backstepping method, we design predictor feedback controllers to cooperatively compensate state-dependent input delays to the ODE. From Lyapunov stability analysis, we show local stability of the closed-loop system in $H^1$ norm. The performance of controllers is demonstrated by numerical simulation.

中文翻译：

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拥挤交通LWR模型中移动冲击波的双边边界控制

我们开发了反步状态反馈控制，以在交通流的双边边界驱动下稳定高速公路路段中的移动冲击波。由冲击波上游的交通畅通和下游的交通繁忙组成的移动冲击波通常是由当地道路状况的变化引起的。密度不连续性向上游传播，陷入冲击波体验的驾驶员从自由交通过渡到拥挤交通。本文中的边界控制设计将移动的冲击波前沿带到一个静态的设定点位置，阻碍了交通拥堵的上游传播。交通动态使用 Lighthill-Whitham-Richard (LWR) 模型进行描述，从而形成一个由两个一阶双曲偏微分方程 (PDE) 组成的系统。每个代表由移动接口分隔的空间域的交通密度。根据 Rankine-Hugoniot 条件，界面位置由通量不连续性驱动，因此由 PDE 状态相关常微分方程 (ODE) 控制。对于 PDE-ODE 耦合系统。控制目标是将交通密度的 PDE 状态和移动冲击位置的 ODE 状态稳定到设定值。使用延迟表示和反步法，我们设计了预测器反馈控制器来协同补偿 ODE 的状态相关输入延迟。从李雅普诺夫稳定性分析中，我们展示了闭环系统在 $H^1$ 范数下的局部稳定性。控制器的性能通过数值模拟来证明。界面位置由通量不连续性驱动，因此由 PDE 状态相关常微分方程 (ODE) 控制。对于 PDE-ODE 耦合系统。控制目标是将交通密度的 PDE 状态和移动冲击位置的 ODE 状态稳定到设定值。使用延迟表示和反步法，我们设计了预测器反馈控制器来协同补偿 ODE 的状态相关输入延迟。从李雅普诺夫稳定性分析中，我们展示了闭环系统在 $H^1$ 范数下的局部稳定性。控制器的性能通过数值模拟来证明。界面位置由通量不连续性驱动，因此由 PDE 状态相关常微分方程 (ODE) 控制。对于 PDE-ODE 耦合系统。控制目标是将交通密度的 PDE 状态和移动冲击位置的 ODE 状态稳定到设定值。使用延迟表示和反步法，我们设计了预测器反馈控制器来协同补偿 ODE 的状态相关输入延迟。从李雅普诺夫稳定性分析中，我们展示了闭环系统在 $H^1$ 范数下的局部稳定性。控制器的性能通过数值模拟来证明。控制目标是将交通密度的 PDE 状态和移动冲击位置的 ODE 状态稳定到设定值。使用延迟表示和反步法，我们设计了预测器反馈控制器来协同补偿 ODE 的状态相关输入延迟。从李雅普诺夫稳定性分析中，我们展示了闭环系统在 $H^1$ 范数下的局部稳定性。控制器的性能通过数值模拟来证明。控制目标是将交通密度的 PDE 状态和移动冲击位置的 ODE 状态稳定到设定值。使用延迟表示和反步法，我们设计了预测器反馈控制器来协同补偿 ODE 的状态相关输入延迟。从李雅普诺夫稳定性分析中，我们展示了闭环系统在 $H^1$ 范数下的局部稳定性。控制器的性能通过数值模拟来证明。