We investigate the query evaluation problem for fixed queries over fully dynamic databases, where tuples can be inserted or deleted. The task is to design a dynamic algorithm that immediately reports the new result of a fixed query after every database update. We consider queries in first-order logic (FO) and its extension with modulo-counting quantifiers (FO+MOD) and show that they can be efficiently evaluated under updates, provided that the dynamic database does not exceed a certain degree bound. In particular, we construct a data structure that allows us to answer a Boolean FO+MOD query and to compute the size of the result of a non-Boolean query within constant time after every database update. Furthermore, after every database update, we can update the data structure in constant time such that afterwards we are able to test within constant time for a given tuple whether or not it belongs to the query result, to enumerate all tuples in the new query result, and to enumerate the difference between the old and the new query result with constant delay between the output tuples. The preprocessing time needed to build the data structure is linear in the size of the database. Our results extend earlier work on the evaluation of first-order queries on static databases of bounded degree and rely on an effective Hanf normal form for FO+MOD recently obtained by Heimberg, Kuske, and Schweikardt (LICS 2016).

中文翻译：

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在有界度数据库更新下回答 FO+MOD 查询

我们研究了完全动态数据库上的固定查询的查询评估问题，其中可以插入或删除元组。任务是设计一种动态算法，在每次数据库更新后立即报告固定查询的新结果。我们考虑一阶逻辑 (FO) 中的查询及其与模计数量词 (FO+MOD) 的扩展，并表明它们可以在更新下有效地评估，前提是动态数据库不超过一定程度的界限。特别是，我们构建了一个数据结构，允许我们回答布尔 FO+MOD 查询，并在每次数据库更新后的恒定时间内计算非布尔查询结果的大小。此外，每次数据库更新后，我们可以在恒定时间内更新数据结构，以便之后我们能够在恒定时间内测试给定元组是否属于查询结果，枚举新查询结果中的所有元组，并枚举它们之间的差异新旧查询结果在输出元组之间具有恒定延迟。构建数据结构所需的预处理时间与数据库的大小成线性关系。我们的结果扩展了早期在有界度静态数据库上评估一阶查询的工作，并依赖于 Heimberg、Kuske 和 Schweikardt 最近获得的 FO+MOD 的有效 Hanf 范式（LICS 2016）。并以输出元组之间的恒定延迟来枚举新旧查询结果之间的差异。构建数据结构所需的预处理时间与数据库的大小成线性关系。我们的结果扩展了早期在有界度静态数据库上评估一阶查询的工作，并依赖于 Heimberg、Kuske 和 Schweikardt 最近获得的 FO+MOD 的有效 Hanf 范式（LICS 2016）。并以输出元组之间的恒定延迟来枚举新旧查询结果之间的差异。构建数据结构所需的预处理时间与数据库的大小成线性关系。我们的结果扩展了早期在有界度静态数据库上评估一阶查询的工作，并依赖于 Heimberg、Kuske 和 Schweikardt 最近获得的 FO+MOD 的有效 Hanf 范式（LICS 2016）。