Erratum: Optimally Distributed Transport Properties Can Produce Highest Performance Thermoelectric Systems,Physica Status Solidi (A) - Applications and Materials Science

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Erratum: Optimally Distributed Transport Properties Can Produce Highest Performance Thermoelectric Systems
Physica Status Solidi (A) - Applications and Materials Science ( IF 2 ) Pub Date : 2020-12-09 , DOI: 10.1002/pssa.202000703
Lon E. Bell

Phys. Status Solidi A 2019, 216, 1900562

DOI: 10.1002/pssa.201900562

In the originally published article, Equations (6-6)–(10), (13), (19), (20), (26) and some Equations in Table 1 and 2 were incorrect. The correct Equations and Tables can be found below. The author apologizes for any inconvenience this may have caused.

Z (x) T (x) = Constant = \frac{S^{2} (x) T (x)}{λ (x) ρ (x)} = \frac{S^{2} (x) T_{C} e^{D \frac{x}{x_{0}}}}{λ (x) ρ (x)}

(6)

j = \frac{S_{C} T_{C} ε}{ρ_{C} x_{0}}

(7)

S (ε, x) = S_{C} e^{A (ε) \frac{x}{x_{0}}} where A (ε) = \frac{Z T ε^{2} + \ln^{2} (\frac{T_{H}}{T_{C}})}{Z T ε - \ln (\frac{T_{H}}{T_{C}})}

(8)

λ (ε, x) = λ_{C} e^{B (ε) \frac{x}{x_{0}}} where B (ε) = \frac{Z T ε^{2} + \ln^{2} (\frac{T_{H}}{T_{C}})}{Z T ε - \ln (\frac{T_{H}}{T_{C}})}

(9)

ρ (ε, x) = ρ_{C} e^{C (ε) \frac{x}{x_{0}}} where C (ε) = \frac{ε + \ln (\frac{T_{H}}{T_{C}})}{1 - \frac{\ln (\frac{T_{H}}{T_{C}})}{Z T ε}}

(10)

q_{C D T P} (ε) = T_{C} λ_{C} [Z T ε - \ln (\frac{T_{H}}{T_{C}})]

(13)

ρ (ε_{0}, x) = {ρ_{C} e^{C (ε_{0}) \frac{x}{x_{0}}} |}_{ε = ε_{0}} = ρ_{C} e^{(2 ε_{0} + l n (\frac{T_{H}}{T_{C}})) \frac{x}{x_{0}}}

(19)

Table 1. Analytic expressions for DTP and CTE COP, maximum ΔT, and efficiency

	PAR	DTP	CTE
Cooling	Maximum COP Maximum ΔT	$β_{C D T P} (ε_{0}) = \frac{1}{{(\frac{T_{H}}{T_{C}})}^{(\frac{M + 1}{M - 1})} - 1}$ $T_{C} \to 0$ Where $Δ T < T_{H}$	$β_{C} (i_{0}) = \frac{T_{C}}{Δ T} (\frac{M_{A} - \frac{T_{H}}{T_{C}}}{M_{A} + 1})$ $Δ T_{M A X} = \frac{1}{2} Z T_{C}^{2}$
Heating	Maximum COP	$β_{H D T P} (ε_{0}) = \frac{1}{1 - {(\frac{T_{C}}{T_{H}})}^{(\frac{M + 1}{M - 1})}}$	$β_{H C T E} (i_{0}) = \frac{T_{H}}{Δ T} (\frac{M_{A} - \frac{T_{C}}{T_{H}}}{M_{A} + 1})$
Power Generation	Maximum Efficiency	$η_{D T P} (δ_{0}) = 1 - {(\frac{T_{C}}{T_{H}})}^{(\frac{M - 1}{M + 1})}$	$η_{C T E} (γ_{0}) = \frac{Δ T}{T_{H}} (\frac{M_{A} - 1}{M_{A} + \frac{T_{C}}{T_{H}}})$

PAR

DTP

CTE

Cooling

Maximum COP

Maximum ΔT

$β_{C D T P} (ε_{0}) = \frac{1}{{(\frac{T_{H}}{T_{C}})}^{(\frac{M + 1}{M - 1})} - 1}$

$T_{C} \to 0$

Where $Δ T < T_{H}$

$β_{C} (i_{0}) = \frac{T_{C}}{Δ T} (\frac{M_{A} - \frac{T_{H}}{T_{C}}}{M_{A} + 1})$

$Δ T_{M A X} = \frac{1}{2} Z T_{C}^{2}$

Heating

Maximum COP

β_{H D T P} (ε_{0}) = \frac{1}{1 - {(\frac{T_{C}}{T_{H}})}^{(\frac{M + 1}{M - 1})}}

$β_{H C T E} (i_{0}) = \frac{T_{H}}{Δ T} (\frac{M_{A} - \frac{T_{C}}{T_{H}}}{M_{A} + 1})$

Power Generation

Maximum Efficiency

η_{D T P} (δ_{0}) = 1 - {(\frac{T_{C}}{T_{H}})}^{(\frac{M - 1}{M + 1})}

$η_{C T E} (γ_{0}) = \frac{Δ T}{T_{H}} (\frac{M_{A} - 1}{M_{A} + \frac{T_{C}}{T_{H}}})$

Table 2. Analytic expressions for DTP and CTE voltages across thermoelectric device couples

	Condition	DTP	CTE
Cooling/Heating	Maximum COP All conditions	$Δ V_{D T P} (ε_{0}) = S_{C} T_{C} (\frac{M}{M + 1}) ({(\frac{T_{H}}{T_{C}})}^{\frac{M + 1}{M - 1}} - 1)$ $Δ V_{D T P} (ε) = (\frac{Q_{H} (I) - Q_{C} (I)}{ε})$	$V_{C T E} (i_{0}) = S Δ T (\frac{M_{A}}{M_{A} - 1})$ $V_{C T E} (i) = S T_{C} (\frac{Δ T}{T_{C}} + i)$
Power Generation	Maximum COP All conditions	$Δ V_{D T P} (δ_{0}) = S_{C} T_{C} (\frac{M}{M - 1}) (1 - {(\frac{T_{C}}{T_{H}})}^{\frac{M - 1}{M + 1}})$ $Δ V_{D T P} (δ) = (\frac{Q_{H} (I) - Q_{C} (I)}{δ})$	$V_{C T E} (γ_{0}) = S Δ T (\frac{M_{A}}{M_{A} + 1})$ $V_{C T E} (γ) = S T_{H} (\frac{Δ T}{T_{H}} - γ)$
Definitions		$ε_{0} = \frac{l n (\frac{T_{H}}{T_{C}})}{M - 1}$ $M = \sqrt{Z T + 1}$ $δ_{0} = \frac{l n (\frac{T_{H}}{T_{C}})}{M + 1}$	$i_{0} = \frac{Δ T}{T_{C} (M_{A} - 1)}$ $M_{A} = \sqrt{Z T_{A} + 1}$ $T_{A} = \frac{T_{H} + T_{C}}{2}$ $γ_{0} = \frac{Δ T}{T_{H}} (\frac{1}{M_{A} + 1})$

Condition

DTP

CTE

Cooling/Heating

Maximum COP

All conditions

$Δ V_{D T P} (ε_{0}) = S_{C} T_{C} (\frac{M}{M + 1}) ({(\frac{T_{H}}{T_{C}})}^{\frac{M + 1}{M - 1}} - 1)$

$Δ V_{D T P} (ε) = (\frac{Q_{H} (I) - Q_{C} (I)}{ε})$

$V_{C T E} (i_{0}) = S Δ T (\frac{M_{A}}{M_{A} - 1})$

$V_{C T E} (i) = S T_{C} (\frac{Δ T}{T_{C}} + i)$

Power Generation

Maximum COP

All conditions

$Δ V_{D T P} (δ_{0}) = S_{C} T_{C} (\frac{M}{M - 1}) (1 - {(\frac{T_{C}}{T_{H}})}^{\frac{M - 1}{M + 1}})$

$Δ V_{D T P} (δ) = (\frac{Q_{H} (I) - Q_{C} (I)}{δ})$

$V_{C T E} (γ_{0}) = S Δ T (\frac{M_{A}}{M_{A} + 1})$

$V_{C T E} (γ) = S T_{H} (\frac{Δ T}{T_{H}} - γ)$

Definitions

$ε_{0} = \frac{l n (\frac{T_{H}}{T_{C}})}{M - 1}$

$M = \sqrt{Z T + 1}$

$δ_{0} = \frac{l n (\frac{T_{H}}{T_{C}})}{M + 1}$

$i_{0} = \frac{Δ T}{T_{C} (M_{A} - 1)}$

$M_{A} = \sqrt{Z T_{A} + 1}$

$T_{A} = \frac{T_{H} + T_{C}}{2}$

$γ_{0} = \frac{Δ T}{T_{H}} (\frac{1}{M_{A} + 1})$

As such, Equation (2) becomes

\frac{d^{2} T (ε_{0}, ε, x)}{d x^{2}} + A (ε_{0}) \frac{d T (ε_{0}, ε, x)}{d x} - j \frac{S_{C} A (ε_{0}) T (ε_{0}, ε, x)}{λ_{C}} = - j^{2} \frac{ρ_{C}}{λ_{C}} e^{D (ε_{0}) \frac{x}{x_{0}}}

(20)

F (ε_{0}, ε) = \frac{T_{C} ε^{2}}{2 ε ε_{0} - ε_{0}^{2}}; M = \sqrt{Z T + 1}

(26)

中文翻译：

勘误表：最佳分布的传输特性可以产生高性能的热电系统

物理 1.166一个 2019，216，1900562

DOI：10.1002 / pssa.201900562

在最初发表的文章中，公式（6-6）–（10），（13），（19），（20），（26）和表 1和2中的某些公式不正确。可以在下面找到正确的方程式和表格。对于由此带来的任何不便，作者深表歉意。

ž （ X ） Ť （ X ） = 不变 = \frac{{小号}^{2} （ X ） Ť （ X ）}{λ （ X ） ρ （ X ）} = \frac{{小号}^{2} （ X ） Ť_{C} Ë^{d \frac{X}{X_{0}}}}{λ （ X ） ρ （ X ）}

（6）

Ĵ = \frac{{小号}_{C} Ť_{C} ε}{ρ_{C} X_{0}}

（7）

小号 （ ε ， X ） = {小号}_{C} Ë^{一种 （ ε ） \frac{X}{X_{0}}} 哪里 一种 （ ε ） = \frac{ž Ť ε^{2} + \ln^{2} （ \frac{Ť_{H}}{Ť_{C}} ）}{ž Ť ε - \ln （ \frac{Ť_{H}}{Ť_{C}} ）}

（8）

λ （ ε ， X ） = λ_{C} Ë^{乙 （ ε ） \frac{X}{X_{0}}} 哪里 乙 （ ε ） = \frac{ž Ť ε^{2} + \ln^{2} （ \frac{Ť_{H}}{Ť_{C}} ）}{ž Ť ε - \ln （ \frac{Ť_{H}}{Ť_{C}} ）}

（9）

ρ （ ε ， X ） = ρ_{C} Ë^{C （ ε ） \frac{X}{X_{0}}} 哪里 C （ ε ） = \frac{ε + \ln （ \frac{Ť_{H}}{Ť_{C}} ）}{1个 - \frac{\ln （ \frac{Ť_{H}}{Ť_{C}} ）}{ž Ť ε}}

（10）

q_{C d Ť P} （ ε ） = Ť_{C} λ_{C} [ž Ť ε - \ln （ \frac{Ť_{H}}{Ť_{C}} ）]

（13）

ρ （ ε_{0} ， X ） = {ρ_{C} Ë^{C （ ε_{0} ） \frac{X}{X_{0}}} |}_{ε = ε_{0}} = ρ_{C} Ë^{（ 2 ε_{0} + 升 ñ （ \frac{Ť_{H}}{Ť_{C}} ） ） \frac{X}{X_{0}}}

（19）

表1. DTP和CTE COP，最大ΔT和效率的解析表达式

	帕尔	DTP	CTE
冷却	最高COP 最大ΔT	$β_{C d Ť P} （ ε_{0} ） = \frac{1个}{{（ \frac{Ť_{H}}{Ť_{C}} ）}^{（ \frac{中号 + 1个}{中号 - 1个} ）} - 1个}$ $Ť_{C} \to 0$ 哪里 $Δ Ť < Ť_{H}$	$β_{C} （ {一世}_{0} ） = \frac{Ť_{C}}{Δ Ť} （ \frac{{中号}_{一种} - \frac{Ť_{H}}{Ť_{C}}}{{中号}_{一种} + 1个} ）$ $Δ Ť_{中号一种 X} = \frac{1个}{2} ž Ť_{C}^{2}$
加热	最高COP	$β_{H d Ť P} （ ε_{0} ） = \frac{1个}{1个 - {（ \frac{Ť_{C}}{Ť_{H}} ）}^{（ \frac{中号 + 1个}{中号 - 1个} ）}}$	$β_{H C Ť Ë} （ {一世}_{0} ） = \frac{Ť_{H}}{Δ Ť} （ \frac{{中号}_{一种} - \frac{Ť_{C}}{Ť_{H}}}{{中号}_{一种} + 1个} ）$
发电量	最高效率	$η_{d Ť P} （ δ_{0} ） = 1个 - {（ \frac{Ť_{C}}{Ť_{H}} ）}^{（ \frac{中号 - 1个}{中号 + 1个} ）}$	$η_{C Ť Ë} （ γ_{0} ） = \frac{Δ Ť}{Ť_{H}} （ \frac{{中号}_{一种} - 1个}{{中号}_{一种} + \frac{Ť_{C}}{Ť_{H}}} ）$

帕尔

DTP

CTE

冷却

最高COP

最大ΔT

$β_{C d Ť P} （ ε_{0} ） = \frac{1个}{{（ \frac{Ť_{H}}{Ť_{C}} ）}^{（ \frac{中号 + 1个}{中号 - 1个} ）} - 1个}$

$Ť_{C} \to 0$

哪里 $Δ Ť < Ť_{H}$

$β_{C} （ {一世}_{0} ） = \frac{Ť_{C}}{Δ Ť} （ \frac{{中号}_{一种} - \frac{Ť_{H}}{Ť_{C}}}{{中号}_{一种} + 1个} ）$

$Δ Ť_{中号一种 X} = \frac{1个}{2} ž Ť_{C}^{2}$

加热

最高COP

β_{H d Ť P} （ ε_{0} ） = \frac{1个}{1个 - {（ \frac{Ť_{C}}{Ť_{H}} ）}^{（ \frac{中号 + 1个}{中号 - 1个} ）}}

$β_{H C Ť Ë} （ {一世}_{0} ） = \frac{Ť_{H}}{Δ Ť} （ \frac{{中号}_{一种} - \frac{Ť_{C}}{Ť_{H}}}{{中号}_{一种} + 1个} ）$

发电量

最高效率

η_{d Ť P} （ δ_{0} ） = 1个 - {（ \frac{Ť_{C}}{Ť_{H}} ）}^{（ \frac{中号 - 1个}{中号 + 1个} ）}

$η_{C Ť Ë} （ γ_{0} ） = \frac{Δ Ť}{Ť_{H}} （ \frac{{中号}_{一种} - 1个}{{中号}_{一种} + \frac{Ť_{C}}{Ť_{H}}} ）$

表2.热电设备对之间的DTP和CTE电压的解析表达式

	健康）状况	DTP	CTE
冷却/加热	最高COP 所有条件	$Δ V_{d Ť P} （ ε_{0} ） = {小号}_{C} Ť_{C} （ \frac{中号}{中号 + 1个} ）（ {（ \frac{Ť_{H}}{Ť_{C}} ）}^{\frac{中号 + 1个}{中号 - 1个}} - 1个）$ $Δ V_{d Ť P} （ ε ） = （ \frac{问_{H} （一世） - 问_{C} （一世）}{ε} ）$	$V_{C Ť Ë} （ {一世}_{0} ） = 小号 Δ Ť （ \frac{{中号}_{一种}}{{中号}_{一种} - 1个} ）$ $V_{C Ť Ë} （一世） = 小号 Ť_{C} （ \frac{Δ Ť}{Ť_{C}} + 一世）$
发电量	最高COP 所有条件	$Δ V_{d Ť P} （ δ_{0} ） = {小号}_{C} Ť_{C} （ \frac{中号}{中号 - 1个} ）（ 1个 - {（ \frac{Ť_{C}}{Ť_{H}} ）}^{\frac{中号 - 1个}{中号 + 1个}} ）$ $Δ V_{d Ť P} （ δ ） = （ \frac{问_{H} （一世） - 问_{C} （一世）}{δ} ）$	$V_{C Ť Ë} （ γ_{0} ） = 小号 Δ Ť （ \frac{{中号}_{一种}}{{中号}_{一种} + 1个} ）$ $V_{C Ť Ë} （ γ ） = 小号 Ť_{H} （ \frac{Δ Ť}{Ť_{H}} - γ ）$
定义		$ε_{0} = \frac{升 ñ （ \frac{Ť_{H}}{Ť_{C}} ）}{中号 - 1个}$ $中号 = \sqrt{ž Ť + 1个}$ $δ_{0} = \frac{升 ñ （ \frac{Ť_{H}}{Ť_{C}} ）}{中号 + 1个}$	${一世}_{0} = \frac{Δ Ť}{Ť_{C} （ {中号}_{一种} - 1个）}$ ${中号}_{一种} = \sqrt{ž Ť_{一种} + 1个}$ $Ť_{一种} = \frac{Ť_{H} + Ť_{C}}{2}$ $γ_{0} = \frac{Δ Ť}{Ť_{H}} （ \frac{1个}{{中号}_{一种} + 1个} ）$

健康）状况

DTP

CTE

冷却/加热

最高COP

所有条件

$Δ V_{d Ť P} （ ε_{0} ） = {小号}_{C} Ť_{C} （ \frac{中号}{中号 + 1个} ）（ {（ \frac{Ť_{H}}{Ť_{C}} ）}^{\frac{中号 + 1个}{中号 - 1个}} - 1个）$