In this paper the weak fixed point property ($w$-FPP) and the fixed point property (FPP) in Variable Lebesgue Spaces are studied. Given $(\Omega,\Sigma,\mu)$ a $\sigma$-finite measure and $p(\cdot)$ a variable exponent function, the $w$-FPP is completely characterized for the variable Lebesgue space $L^{p(\cdot)}(\Omega)$ in terms of the exponent function $p(\cdot)$ and the absence of an isometric copy of $L_1[0,1]$. In particular, every reflexive $L^{p(\cdot)}(\Omega)$ has the FPP and our results bring to light the existence of some nonreflexive variable Lebesgue spaces satisfying the $w$-FPP, in sharp contrast with the classic Lebesgue $L^p$-spaces. In connection with the FPP, we prove that Maurey's result for $L^1$-spaces can be extended to the larger class of variable $L^{p(\cdot)}(\Omega)$ spaces with order continuous norm, that is, every reflexive subspace of $L^{p(\cdot)}(\Omega)$ has the FPP. Never\-theless, Maurey's converse does not longer hold in the variable setting, since some nonreflexive subspaces of $L^{p(\cdot)}(\Omega)$ satisfying the FPP can be found. As a consequence, we discover that several nonreflexive Nakano sequence spaces $\ell^{p_n}$ do have the FPP endowed with the Luxemburg norm. As far as the authors are concerned, this family of sequence spaces gives rise to the first known nonreflexive classic Banach spaces enjoying the FPP without requiring of any renorming procedure. The failure of asympto\-tically isometric copies of $\ell_1$ in $L^{p(\cdot)}(\Omega)$ is also analyzed.

中文翻译：

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可变勒贝格空间中的不动点性质和自反性

本文研究了变Lebesgue空间中的弱不动点性质($w$-FPP)和不动点性质(FPP)。给定 $(\Omega,\Sigma,\mu)$ 一个 $\sigma$-有限测度和 $p(\cdot)$ 一个变量指数函数，$w$-FPP 完全表征为变量 Lebesgue 空间 $L ^{p(\cdot)}(\Omega)$ 就指数函数 $p(\cdot)$ 和 $L_1[0,1]$ 的等距副本的缺失而言。特别是，每个自反 $L^{p(\cdot)}(\Omega)$ 都有 FPP，我们的结果揭示了一些满足 $w$-FPP 的非自反变量 Lebesgue 空间的存在，与经典的 Lebesgue $L^p$-空格。结合 FPP，我们证明了 Maurey 对 $L^1$-空间的结果可以扩展到更大的具有阶连续范数的变量 $L^{p(\cdot)}(\Omega)$ 空间，即是，$L^{p(\cdot)}(\Omega)$ 的每个自反子空间都有 FPP。无论如何，Maurey 的逆逆在变量设置中不再成立，因为可以找到满足 FPP 的 $L^{p(\cdot)}(\Omega)$ 的一些非自反子空间。因此，我们发现几个非自反中野序列空间 $\ell^{p_n}$ 确实具有赋予卢森堡范数的 FPP。就作者而言，这一系列序列空间产生了第一个已知的非自反经典 Banach 空间，无需任何重新规范程序即可享受 FPP。还分析了 $L^{p(\cdot)}(\Omega)$ 中 $\ell_1$ 的渐近等距副本的失败。因为可以找到满足 FPP 的 $L^{p(\cdot)}(\Omega)$ 的一些非自反子空间。因此，我们发现几个非自反中野序列空间 $\ell^{p_n}$ 确实具有赋予卢森堡范数的 FPP。就作者而言，这一系列序列空间产生了第一个已知的非自反经典 Banach 空间，无需任何重新规范程序即可享受 FPP。还分析了 $L^{p(\cdot)}(\Omega)$ 中 $\ell_1$ 的渐近等距副本的失败。因为可以找到满足 FPP 的 $L^{p(\cdot)}(\Omega)$ 的一些非自反子空间。因此，我们发现几个非自反中野序列空间 $\ell^{p_n}$ 确实具有赋予卢森堡范数的 FPP。就作者而言，这一系列序列空间产生了第一个已知的非自反经典 Banach 空间，无需任何重新规范程序即可享受 FPP。还分析了 $L^{p(\cdot)}(\Omega)$ 中 $\ell_1$ 的渐近等距副本的失败。这一系列序列空间产生了第一个已知的非自反经典 Banach 空间，无需任何重新规范程序即可享受 FPP。还分析了 $L^{p(\cdot)}(\Omega)$ 中 $\ell_1$ 的渐近等距副本的失败。这一系列序列空间产生了第一个已知的非自反经典 Banach 空间，无需任何重新规范程序即可享受 FPP。还分析了 $L^{p(\cdot)}(\Omega)$ 中 $\ell_1$ 的渐近等距副本的失败。