Let G be a group and S ⊆ G a subset such that S = S−1, where S−1 = {s−1 | s ∈ S}. Then a Cayley graph Cay(G, S) is an undirected graph Γ with vertex set V (Γ) = G and edge set E(Γ) = {(g, gs) | g ∈ G, s ∈ S}. For a normal subset S of a finite group G such that s ∈ S ⇒ sk ∈ S for every k ∈ ℤ which is coprime to the order of s, we prove that all eigenvalues of the adjacency matrix of Cay(G, S) are integers. Using this fact, we give affirmative answers to Questions 19.50(a) and 19.50(b) in the Kourovka Notebook.

中文翻译：

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积分凯莱图

设 G 是一个群，S ⊆ G 是一个子集，使得 S = S−1，其中 S−1 = {s−1 | s∈S}。那么一个 Cayley 图 Cay(G, S) 是一个无向图 Γ，其顶点集 V (Γ) = G 和边集 E(Γ) = {(g, gs) | g∈G，s∈S}。对于有限群 G 的正规子集 S，对于与 s 的阶互质的每个 k ∈ ℤ， s ∈ S ⇒ sk ∈ S，我们证明 Cay(G, S) 的邻接矩阵的所有特征值是整数。利用这一事实，我们对 Kourovka Notebook 中的问题 19.50(a) 和 19.50(b) 给出了肯定的答案。