ABSTRACT

In this paper we confirm three conjectures of Z.-W. Sun on determinants. We first show that any odd integer n>3 divides the determinant ${\left|(i^2+d{j}^2)\left(\frac{i^2+d{j}^2}{n}\right)\right|}_{0\le i,j\le (n-1)/2},$ where d is any integer and $\left(\frac{\cdot }{n}\right)$ is the Jacobi symbol. Then we prove some divisibility results concerning $|(i+dj{)}^n{|}_{0\le i,j\le n-1}$ and $|(i^2+d{j}^2{)}^n{|}_{0\le i,j\le n-1}$, where $d\ne 0$ and n>2 are integers. Finally, for any odd prime p and integers c and d with $p\nmid cd$, we determine completely the Legendre symbol $\left(\frac{S_c(d,p)}{p}\right)$, where $S_c(d,p):={\left|\left(\frac{i^2+d{j}^2+c}{p}\right)\right|}_{1\le i,j\le (p-1)/2}$.

摘要

在本文中，我们确定Z.-W的三个猜想。太阳决定因素。我们首先证明n > 3的任何奇数整数都会除行列式${\left|（{\mathrm{一世}}^2+d{Ĵ}^2）\left(\frac{{\mathrm{一世}}^2+d{Ĵ}^2}{ñ}\right)\right|}_{0\le \mathrm{一世}，Ĵ\le （ñ-\mathrm{1个}）/2}，$其中d是任何整数，$（\frac{\cdot }{ñ}）$是雅可比符号。然后我们证明一些关于$|（\mathrm{一世}+dĴ{）}^{ñ}{|}_{0\le \mathrm{一世}，Ĵ\le ñ-\mathrm{1个}}$ 和 $|（{\mathrm{一世}}^2+d{Ĵ}^2{）}^{ñ}{|}_{0\le \mathrm{一世}，Ĵ\le ñ-\mathrm{1个}}$，在哪里 $d\ne 0$和Ñ > 2是整数。最后，对于任何奇素数p和整数ç和d与$p\nmid Cd$，我们完全确定了Legendre符号 $\left(\frac{{\mathrm{小号}}_C（d，p）}{p}\right)$，在哪里 ${\mathrm{小号}}_C（d，p）：={\left|\left(\frac{{\mathrm{一世}}^2+d{Ĵ}^2+C}{p}\right)\right|}_{\mathrm{1个}\le \mathrm{一世}，Ĵ\le （p-\mathrm{1个}）/2}$。