In this work, we consider a family of Lotka–Volterra maps [Formula: see text] for [Formula: see text] and [Formula: see text] which unfold a map originally proposed by Sharkosky for [Formula: see text] and [Formula: see text]. Multistability is observed, and attractors may exist not only in the positive quadrant of the plane, but also in the region [Formula: see text]. Some properties and bifurcations are described. The [Formula: see text]-axis is invariant, on which the map reduces to the logistic. For any [Formula: see text] an interval of values for [Formula: see text] exists for which all the cycles on the [Formula: see text]-axis are transversely attracting. This invariant set is the source of several kinds of bifurcations. Riddling bifurcations lead to attractors in Milnor sense, not topological but with a stable set of positive measure, which may be the unique attracting set, or coexisting with other topological attractors. The riddling and blowout bifurcations are described related to chaotic intervals on the invariant set, and these global bifurcations have different dynamic results. Chaotic intervals which are not topological attractors may have all the cycles transversely attracting and as Milnor attractors. We show that Milnor attractors may also be related to attracting cycles on the [Formula: see text]-axis at the bifurcation associated with the transverse and parallel eigenvalues. We show particular examples related to topological attractors with very narrow basins of attraction, when the majority of the trajectories are divergent.

中文翻译：

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二维 Lotka-Volterra 映射族中的 Milnor 和拓扑吸引子

在这项工作中，我们考虑了一系列 Lotka-Volterra 映射 [Formula: see text] for [Formula: see text] 和 [Formula: see text] 展开了 Sharkosky 最初为 [Formula: see text] 和 [Formula: see text] 提出的映射。公式：见正文]。观察到多稳态，吸引子不仅可能存在于平面的正象限中，还可能存在于区域中[公式：见正文]。描述了一些性质和分岔。[公式：见文本]-轴是不变的，地图在该轴上简化为逻辑。对于任何 [公式：参见文本]，存在 [公式：参见文本] 的值区间，其中 [公式：参见文本] 轴上的所有循环都横向吸引。这个不变集是几种分岔的来源。令人费解的分岔导致 Milnor 意义上的吸引子，不是拓扑的，而是具有一组稳定的正度量，可能是唯一的吸引子集，也可能与其他拓扑吸引子共存。在不变量集上描述了与混沌区间相关的解谜分岔和井喷分岔，这些全局分岔具有不同的动态结果。不是拓扑吸引子的混沌区间可能具有所有周期横向吸引并作为米尔诺吸引子。我们表明，Milnor 吸引子也可能与在与横向和平行特征值相关的分叉处的 [公式：参见文本] 轴上的吸引周期有关。我们展示了与具有非常窄的吸引力盆地的拓扑吸引子相关的特定示例，此时大多数轨迹都是发散的。在不变量集上描述了与混沌区间相关的解谜分岔和井喷分岔，这些全局分岔具有不同的动态结果。不是拓扑吸引子的混沌区间可能具有所有周期横向吸引并作为米尔诺吸引子。我们表明，Milnor 吸引子也可能与在与横向和平行特征值相关的分叉处的 [公式：参见文本] 轴上的吸引周期有关。我们展示了与具有非常窄的吸引力盆地的拓扑吸引子相关的特定示例，此时大多数轨迹都是发散的。在不变量集上描述了与混沌区间相关的解谜分岔和井喷分岔，这些全局分岔具有不同的动态结果。不是拓扑吸引子的混沌区间可能具有所有周期横向吸引并作为米尔诺吸引子。我们表明，Milnor 吸引子也可能与在与横向和平行特征值相关的分叉处的 [公式：参见文本] 轴上的吸引周期有关。我们展示了与具有非常窄的吸引力盆地的拓扑吸引子相关的特定示例，此时大多数轨迹都是发散的。不是拓扑吸引子的混沌区间可能具有所有周期横向吸引并作为米尔诺吸引子。我们表明，Milnor 吸引子也可能与在与横向和平行特征值相关的分叉处的 [公式：参见文本] 轴上的吸引周期有关。我们展示了与具有非常窄的吸引力盆地的拓扑吸引子相关的特定示例，此时大多数轨迹都是发散的。不是拓扑吸引子的混沌区间可能具有所有周期横向吸引并作为米尔诺吸引子。我们表明，Milnor 吸引子也可能与在与横向和平行特征值相关的分叉处的 [公式：参见文本] 轴上的吸引周期有关。我们展示了与具有非常窄的吸引力盆地的拓扑吸引子相关的特定示例，此时大多数轨迹都是发散的。