For an integer $d\ge 2$, a family $\mathcal{F}$ of sets is d-wise intersecting if for any distinct sets $A_1,A_2,\dots ,A_d\in \mathcal{F}$, $A_1\cap A_2\cap \dots \cap A_d\ne \varnothing$, and non-trivial if ${\bigcap }_{A\in \mathcal{F}}A=\varnothing$. Hilton and Milner conjectured that for $k\ge d\ge 2$ and large enough n, the extremal (i.e. largest) non-trivial d-wise intersecting family of k-element subsets of $[n]$ is, up to isomorphism, one of the following two families:$\mathcal{A}(k,d)=\{A\in \left(\begin{array}{c}[n]\\ k\end{array}\right):|A\cap [d+1]|\ge d\}\mathcal{H}(k,d)=\{A\in \left(\begin{array}{c}[n]\\ k\end{array}\right):[d-1]\subset A,A\cap [d,k+1]\ne \varnothing \}\cup \{[k+1]\setminus \{i\}:i\in [d-1]\}.$ The celebrated Hilton-Milner Theorem states that $\mathcal{H}(k,2)$ is the unique, up to isomorphism, extremal non-trivial intersecting family for $k>3$. We prove the conjecture and prove a stability theorem, stating that any large enough non-trivial d-wise intersecting family of k-element subsets of $[n]$ is a subfamily of $\mathcal{A}(k,d)$ or $\mathcal{H}(k,d)$.

对于整数 $d\ge 2$， 一个家庭 $\mathcal{F}$如果有任何不同的集合，则集合的d方向相交${\mathrm{一种}}_{\mathrm{1个}}，{\mathrm{一种}}_2，\dots ，{\mathrm{一种}}_d\in \mathcal{F}$， ${\mathrm{一种}}_{\mathrm{1个}}\cap {\mathrm{一种}}_2\cap \dots \cap {\mathrm{一种}}_d\ne \varnothing$，并且如果不重要${\bigcap }_{\mathrm{一种}\in \mathcal{F}}\mathrm{一种}=\varnothing$。希尔顿和米尔纳猜想是$ķ\ge d\ge 2$并且足够大的n，是的k个元素子集的极（即最大）非平凡d方向相交族$[ñ]$ 直到同构，是以下两个家族之一：$\mathcal{一种}（ķ，d）=\{\mathrm{一种}\in （\begin{array}{c}[ñ]\\ ķ\end{array}）：|\mathrm{一种}\cap [d+\mathrm{1个}]|\ge d\}\mathcal{H}（ķ，d）=\{\mathrm{一种}\in （\begin{array}{c}[ñ]\\ ķ\end{array}）：[d-\mathrm{1个}]\subset \mathrm{一种}，\mathrm{一种}\cap [d，ķ+\mathrm{1个}]\ne \varnothing \}\cup \{[ķ+\mathrm{1个}]\setminus \{\mathrm{一世}\}：\mathrm{一世}\in [d-\mathrm{1个}]\}。$ 著名的希尔顿-米尔纳定理指出： $\mathcal{H}（ķ，2）$ 是唯一的，直至同构的极端非平凡相交家族 $ķ>3$。我们证明了这个猜想，并证明了一个稳定性定理，指出任何足够大的非平凡d-相交族的k-子集$[ñ]$ 是的一个亚科 $\mathcal{一种}（ķ，d）$ 要么 $\mathcal{H}（ķ，d）$。