Let $X$ be the family of hypersurfaces in the odd-dimensional torus ${\mathbb T}^{2n+1}$ defined by a Laurent polynomial $f$ with fixed exponents and variable coefficients. We show that if $n\Delta$, the dilation of the Newton polytope $\Delta$ of $f$ by the factor $n$, contains no interior lattice points, then the Picard-Fuchs equation of $W_{2n}H^{2n}_{\rm DR}(X)$ has a full set of algebraic solutions (where $W_\bullet$ denotes the weight filtration on de Rham cohomology). We also describe a procedure for finding solutions of these Picard-Fuchs equations.

中文翻译：

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牛顿多面体和代数超几何级数

令 $X$ 是奇维环面 ${\mathbb T}^{2n+1}$ 中的超曲面族，由具有固定指数和可变系数的 Laurent 多项式 $f$ 定义。我们证明如果 $n\Delta$，$f$ 的牛顿多胞体 $\Delta$ 的膨胀因子 $n$，不包含内部格点，那么 $W_{2n}H 的 Picard-Fuchs 方程^{2n}_{\rm DR}(X)$ 有全套代数解（其中 $W_\bullet$ 表示 de Rham 上同调上的权重过滤）。我们还描述了寻找这些 Picard-Fuchs 方程解的过程。