SIAM Journal on Mathematical Analysis, Volume 52, Issue 6, Page 5865-5891, January 2020.
We study the system $ (*) \Big\{\!\!\begin{array}{c} u_t = D_1 \Delta u - \chi_1 \nabla \cdot (u \nabla v) + u(\lambda_1 - \mu_1 u + a_1 v) \\ v_t = D_2 \Delta v + \chi_2 \nabla \cdot (v \nabla u) + v(\lambda_2 - \mu_2 v - a_2 u) \end{array} $ (inter alia) for $D_1, D_2, \chi_1, \chi_2, \lambda_1, \lambda_2, \mu_1, \mu_2, a_1, a_2 > 0$ in smooth, bounded domains $\Omega \subset \mathbb R^n$, $n \in \{1, 2, 3\}$. Without any further restrictions on these parameters, we prove that there exists a constant stable steady state $(u_\star, v_\star) \in [0, \infty)^2$, meaning that there is $\varepsilon > 0$ such that if $u_0, v_0 \in W^{2, 2}(\Omega)$ are nonnegative with $\partial_\nu u_0 = \partial_\nu v_0 = 0$ in the sense of traces and $ \|u_0 - u_\star\|_{W^{2,2}(\Omega)} + \|v_0 - v_\star\|_{W^{2,2}(\Omega)} < \varepsilon, $ then there exists a global classical solution $(u, v)$ of $(*)$ with initial data $u_0, v_0$ converging to $(u_\star, v_\star)$ in $W^{2, 2}(\Omega)$. Moreover, the convergence rate is exponential, except for the case $\lambda_2 \mu_1 = \lambda_1 a_2$, where it is is only algebraical. To the best of our knowledge, this constitutes the first global existence result for $(*)$ in the biologically most relevant two- and three-dimensional settings. In the proof, we make use of the special structure in $(*)$ and carefully balance the doubly cross-diffusive interaction therein. Indeed, we introduce certain functionals and combine them in a way allowing for cancellations of the most worrisome terms.

中文翻译：

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带有捕食和被捕食的多维人口模型中均质稳态附近的全局解

SIAM数学分析期刊，第52卷，第6期，第5865-5891页，2020年1月。
我们研究系统$（*）\ Big \ {\！\！\ begin {array} {c} u_t = D_1 \ Delta u-\ chi_1 \ nabla \ cdot（u \ nabla v）+ u（\ lambda_1-\ mu_1 u + a_1 v）\\ v_t = D_2 \ Delta v + \ chi_2 \ nabla \ cdot（v \ nabla u）+ v（\ lambda_2-\ mu_2 v-a_2 u）\ end {array} $（除其他外）对于$ D_1，D_2，\ chi_1，\ chi_2，\ lambda_1，\ lambda_2，\ mu_1，\ mu_2，a_1，a_2> 0 $在光滑的有界域$ \ Omega \ subset \ mathbb R ^ n $，$ n \以\ {1、2、3 \} $。在这些参数上没有任何进一步的限制，我们证明存在一个恒定的稳定稳态$（u_ \ star，v_ \ star）\ in [0，\ infty）^ 2 $，这意味着存在$ \ varepsilon> 0 $因此，如果$ u_0，v_0 \ in W ^ {2，2}（\ Omega）$是非负的，则$ \ partial_ \ nu u_0 = \ partial_ \ nu v_0 = 0 $从轨迹和$ \ | u_0- u_ \ star \ | _ {W ^ {2,2}（\ Omega）} + \ | v_0-v_ \ star \ | __W {{2,2}（\ Omega）} <\ varepsilon，$然后存在$（*）$的全局经典解$（u，v）$，初始数据$ u_0，v_0 $收敛到$ W ^ {2，2中的$（u_ \ star，v_ \ star）$ }（\ Omega）$。此外，除了$ \ lambda_2 \ mu_1 = \ lambda_1 a_2 $的情况（仅是代数的），收敛速度是指数级的。据我们所知，这是在生物学上最相关的二维和三维环境中$（*）$的第一个全局存在结果。在证明中，我们利用$（*）$中的特殊结构并仔细平衡其中的双重交叉扩散相互作用。实际上，我们引入了某些功能并以允许取消最令人担忧的术语的方式将它们组合在一起。除了$ \ lambda_2 \ mu_1 = \ lambda_1 a_2 $的情况（仅是代数的）外，收敛速度是指数级的。据我们所知，这是在生物学上最相关的二维和三维环境中$（*）$的第一个全局存在结果。在证明中，我们利用$（*）$中的特殊结构并仔细平衡其中的双重交叉扩散相互作用。实际上，我们引入了某些功能并以允许取消最令人担忧的术语的方式将它们组合在一起。收敛速度是指数级的，除了$ \ lambda_2 \ mu_1 = \ lambda_1 a_2 $的情况外，它只是代数的。据我们所知，这是在生物学上最相关的二维和三维环境中$（*）$的第一个全局存在结果。在证明中，我们利用$（*）$中的特殊结构并仔细平衡其中的双重交叉扩散相互作用。实际上，我们引入了某些功能并以允许取消最令人担忧的术语的方式将它们组合在一起。我们利用$（*）$中的特殊结构并仔细平衡其中的双重交叉扩散相互作用。实际上，我们引入了某些功能并以允许取消最令人担忧的术语的方式将它们组合在一起。我们利用$（*）$中的特殊结构并仔细平衡其中的双重交叉扩散相互作用。实际上，我们引入了某些功能并以允许取消最令人担忧的术语的方式将它们组合在一起。