Entropy is one of the physical bases for the fractal dimension definition, and the generalized fractal dimension was defined by Renyi entropy. Using the fractal dimension, we can describe urban growth and form and characterize spatial complexity. A number of fractal models and measurements have been proposed for urban studies. However, the precondition for fractal dimension application is to find scaling relations in cities. In the absence of the scaling property, we can make use of the entropy function and measurements. This paper is devoted to researching how to describe urban growth by using spatial entropy. By analogy with fractal dimension growth models of cities, a pair of entropy increase models can be derived, and a set of entropy-based measurements can be constructed to describe urban growing process and patterns. First, logistic function and Boltzmann equation are utilized to model the entropy increase curves of urban growth. Second, a series of indexes based on spatial entropy are used to characterize urban form. Furthermore, multifractal dimension spectra are generalized to spatial entropy spectra. Conclusions are drawn as follows. Entropy and fractal dimension have both intersection and different spheres of application to urban research. Thus, for a given spatial measurement scale, fractal dimension can often be replaced by spatial entropy for simplicity. The models and measurements presented in this work are significant for integrating entropy and fractal dimension into the same framework of urban spatial analysis and understanding spatial complexity of cities.

中文翻译：

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用空间熵模拟城市增长和形态

熵是分形维数定义的物理基础之一，广义分形维数由人一熵定义。使用分形维数，我们可以描述城市的增长和形态，并描述空间的复杂性。已经提出了许多分形模型和测量方法用于城市研究。但是，应用分形维数的前提是要找到城市的比例关系。在没有缩放属性的情况下，我们可以利用熵函数和度量。本文致力于研究如何利用空间熵来描述城市增长。通过类似于城市的分形维数增长模型，可以得出一对熵增长模型，并且可以构建一组基于熵的度量来描述城市增长过程和模式。第一，利用逻辑函数和玻尔兹曼方程对城市增长的熵增长曲线进行建模。其次，使用基于空间熵的一系列指标来表征城市形态。此外，将多分形维数光谱推广到空间熵光谱。结论如下。熵和分形维数在城市研究中既有交叉又有不同的应用领域。因此，对于给定的空间测量尺度，为了简单起见，分形维数通常可以由空间熵代替。这项工作中提出的模型和度量对于将熵和分形维数集成到城市空间分析的同一框架中并理解城市的空间复杂性具有重要意义。基于空间熵的一系列指标用于表征城市形态。此外，将多分形维数光谱推广到空间熵光谱。结论如下。熵和分形维数在城市研究中既有交叉又有不同的应用领域。因此，对于给定的空间测量尺度，为了简单起见，分形维数通常可以由空间熵代替。这项工作中提出的模型和度量对于将熵和分形维数集成到城市空间分析的同一框架中并理解城市的空间复杂性具有重要意义。基于空间熵的一系列指标用于表征城市形态。此外，将多分形维数光谱推广到空间熵光谱。结论如下。熵和分形维数在城市研究中既有交叉又有不同的应用领域。因此，对于给定的空间测量尺度，为了简单起见，分形维数通常可以由空间熵代替。这项工作中提出的模型和度量对于将熵和分形维数集成到城市空间分析的同一框架中并理解城市的空间复杂性具有重要意义。熵和分形维数在城市研究中既有交叉又有不同的应用领域。因此，对于给定的空间测量尺度，为了简单起见，分形维数通常可以由空间熵代替。这项工作中提出的模型和度量对于将熵和分形维数集成到城市空间分析的同一框架中并理解城市的空间复杂性具有重要意义。熵和分形维数在城市研究中既有交叉又有不同的应用领域。因此，对于给定的空间测量尺度，为了简单起见，分形维数通常可以由空间熵代替。这项工作中提出的模型和度量对于将熵和分形维数集成到城市空间分析的同一框架中并理解城市的空间复杂性具有重要意义。