We analyze several Galerkin approximations of a Gaussian random field $\mathcal{Z}\colon\mathcal{D}\times\Omega\to\mathbb{R}$ indexed by a Euclidean domain $\mathcal{D}\subset\mathbb{R}^d$ whose covariance structure is determined by a negative fractional power $L^{-2\beta}$ of a second-order elliptic differential operator $L:= -\nabla\cdot(A\nabla) + \kappa^2$. Under minimal assumptions on the domain $\mathcal{D}$, the coefficients $A\colon\mathcal{D}\to\mathbb{R}^{d\times d}$, $\kappa\colon\mathcal{D}\to\mathbb{R}$, and the fractional exponent $\beta>0$, we prove convergence in $L_q(\Omega; H^\sigma(\mathcal{D}))$ and in $L_q(\Omega; C^\delta(\overline{\mathcal{D}}))$ at (essentially) optimal rates for (i) spectral Galerkin methods and (ii) finite element approximations. Specifically, our analysis is solely based on $H^{1+\alpha}(\mathcal{D})$-regularity of the differential operator $L$, where $0<\alpha\leq 1$. For this setting, we furthermore provide rigorous estimates for the error in the covariance function of these approximations in $L_{\infty}(\mathcal{D}\times\mathcal{D})$ and in the mixed Sobolev space $H^{\sigma,\sigma}(\mathcal{D}\times\mathcal{D})$, showing convergence which is more than twice as fast compared to the corresponding $L_q(\Omega; H^\sigma(\mathcal{D}))$-rate. For the well-known example of such Gaussian random fields, the original Whittle-Mat\'ern class, where $L=-\Delta + \kappa^2$ and $\kappa \equiv \operatorname{const.}$, we perform several numerical experiments which validate our theoretical results.

中文翻译：

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Sobolev 和 Hölder 空间中广义 Whittle-Matérn 域的正则性和收敛性分析

我们分析了由欧几里德域 $\mathcal{D}\subset\mathbb 索引的高斯随机场 $\mathcal{Z}\colon\mathcal{D}\times\Omega\to\mathbb{R}$ 的几个 Galerkin 近似{R}^d$ 其协方差结构由二阶椭圆微分算子 $L:= -\nabla\cdot(A\nabla) + \ 的负分数幂 $L^{-2\beta}$ 决定卡帕^2$。在域 $\mathcal{D}$ 的最小假设下，系数 $A\colon\mathcal{D}\to\mathbb{R}^{d\times d}$, $\kappa\colon\mathcal{D }\to\mathbb{R}$ 和分数指数 $\beta>0$，我们证明 $L_q(\Omega; H^\sigma(\mathcal{D}))$ 和 $L_q(\ Omega; C^\delta(\overline{\mathcal{D}}))$ 在（基本上）（i）谱伽辽金方法和（ii）有限元近似的最佳速率下。具体来说，我们的分析完全基于微分算子 $L$ 的 $H^{1+\alpha}(\mathcal{D})$-正则性，其中 $0<\alpha\leq 1$。对于此设置，我们还提供了对 $L_{\infty}(\mathcal{D}\times\mathcal{D})$ 和混合 Sobolev 空间 $H^ 中这些近似值的协方差函数误差的严格估计{\sigma,\sigma}(\mathcal{D}\times\mathcal{D})$，与相应的 $L_q(\Omega; H^\sigma(\mathcal{ D}))$-率。对于这种高斯随机场的众所周知的例子，原始的 Whittle-Mat\'ern 类，其中 $L=-\Delta + \kappa^2$ 和 $\kappa \equiv \operatorname{const.}$，我们进行几个数值实验来验证我们的理论结果。我们进一步对 $L_{\infty}(\mathcal{D}\times\mathcal{D})$ 和混合 Sobolev 空间 $H^{\sigma 中这些近似值的协方差函数的误差进行了严格的估计， \sigma}(\mathcal{D}\times\mathcal{D})$，显示收敛速度是对应的 $L_q(\Omega; H^\sigma(\mathcal{D})) 的两倍多$-率。对于这种高斯随机场的众所周知的例子，原始的 Whittle-Mat\'ern 类，其中 $L=-\Delta + \kappa^2$ 和 $\kappa \equiv \operatorname{const.}$，我们进行几个数值实验来验证我们的理论结果。我们进一步对 $L_{\infty}(\mathcal{D}\times\mathcal{D})$ 和混合 Sobolev 空间 $H^{\sigma 中这些近似值的协方差函数的误差进行了严格的估计， \sigma}(\mathcal{D}\times\mathcal{D})$，显示收敛速度是对应的 $L_q(\Omega; H^\sigma(\mathcal{D})) 的两倍多$-率。对于这种高斯随机场的众所周知的例子，原始的 Whittle-Mat\'ern 类，其中 $L=-\Delta + \kappa^2$ 和 $\kappa \equiv \operatorname{const.}$，我们进行几个数值实验来验证我们的理论结果。显示收敛速度比相应的 $L_q(\Omega; H^\sigma(\mathcal{D})) $-rate 快两倍多。对于这种高斯随机场的众所周知的例子，原始的 Whittle-Mat\'ern 类，其中 $L=-\Delta + \kappa^2$ 和 $\kappa \equiv \operatorname{const.}$，我们进行几个数值实验来验证我们的理论结果。显示收敛速度比相应的 $L_q(\Omega; H^\sigma(\mathcal{D})) $-rate 快两倍多。对于这种高斯随机场的著名例子，原始的 Whittle-Mat\'ern 类，其中 $L=-\Delta + \kappa^2$ 和 $\kappa \equiv \operatorname{const.}$，我们进行几个数值实验来验证我们的理论结果。