Approximate equations for the numbers of singlet peaks and total peaks in two-dimensional (2D) separations of randomly distributed component zones predict values of zero as the second-dimension peak capacity 2nc goes to zero. This is the result of deriving the equations for an unbounded 2D space. More rigorous equations are needed to assess how large 2nc must be before the error in the approximate equations is acceptably small. An exact equation for the number of singlet peaks in a 2D separation with a bounded second dimension is derived in Online Resource 1. The equation accounts for the reduced likelihood of overlap of zones represented as circles or ellipses near the second-dimension boundaries and is the result of the lengthy derivation of different expressions of probability, with the appropriate expression depending on the value of 2nc. In this paper, the equation is used to modify the prediction of the Roach equation for the number of total peaks in the 2D separation. Computer simulations of the clustering of circles confirm the equation for singlet peaks over a wide range of first-dimension saturations α1D (0.05 ≤ α1D ≤ 5) and 2nc values (0.1 ≤ 2nc ≤ 15). The saturation α1D, equal to the ratio of the number of components requiring separation to the first-dimension peak capacity available for separation, is a metric of chromatographic crowdedness. Over the same α1D range, the equation for total peaks slightly underestimates the simulations when 2nc < 2.5 but agrees with them at larger 2nc. It is shown that the extended theory differs most from the approximate one when α1D is large and 2nc is small.

中文翻译：

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扩展统计重叠理论在小二维峰容量应用中的验证

随机分布的组分区域的二维 (2D) 分离中单峰和总峰数量的近似方程预测值为零，因为第二维峰容量 2nc 变为零。这是推导无界 2D 空间方程的结果。需要更严格的方程来评估 2nc 必须有多大才能使近似方程中的误差小到可以接受的程度。在线资源 1 中推导出了具有有界第二维的二维分离中单峰数量的精确方程。该方程说明了在第二维边界附近表示为圆或椭圆的区域重叠的可能性降低，并且是不同概率表达式的长时间推导的结果，适当的表达式取决于 2nc 的值。在本文中，该方程用于修改 Roach 方程对二维分离中总峰数的预测。圆聚类的计算机模拟证实了大范围的第一维饱和度 α1D (0.05 ≤ α1D ≤ 5) 和 2nc 值 (0.1 ≤ 2nc ≤ 15) 上的单峰方程。饱和度 α1D 等于需要分离的组分数量与可用于分离的第一维峰容量之比，是色谱拥挤度的衡量标准。在相同的 α1D 范围内，当 2nc < 2.5 时，总峰的方程略微低估了模拟，但在更大的 2nc 时与它们一致。结果表明，当α1D大而2nc小时，扩展理论与近似理论的差异最大。该方程用于修改 Roach 方程对 2D 分离中总峰数的预测。圆聚类的计算机模拟证实了大范围的第一维饱和度 α1D (0.05 ≤ α1D ≤ 5) 和 2nc 值 (0.1 ≤ 2nc ≤ 15) 上的单峰方程。饱和度 α1D 等于需要分离的组分数量与可用于分离的第一维峰容量之比，是色谱拥挤度的衡量标准。在相同的 α1D 范围内，当 2nc < 2.5 时，总峰的方程略微低估了模拟，但在更大的 2nc 时与它们一致。结果表明，当α1D大而2nc小时，扩展理论与近似理论的差异最大。该方程用于修改 Roach 方程对 2D 分离中总峰数的预测。圆聚类的计算机模拟证实了大范围的第一维饱和度 α1D (0.05 ≤ α1D ≤ 5) 和 2nc 值 (0.1 ≤ 2nc ≤ 15) 上的单峰方程。饱和度 α1D 等于需要分离的组分数量与可用于分离的第一维峰容量之比，是色谱拥挤度的衡量标准。在相同的 α1D 范围内，当 2nc < 2.5 时，总峰的方程略微低估了模拟，但在更大的 2nc 时与它们一致。结果表明，当α1D大而2nc小时，扩展理论与近似理论的差异最大。圆聚类的计算机模拟证实了大范围的第一维饱和度 α1D (0.05 ≤ α1D ≤ 5) 和 2nc 值 (0.1 ≤ 2nc ≤ 15) 上的单峰方程。饱和度 α1D 等于需要分离的组分数量与可用于分离的第一维峰容量之比，是色谱拥挤度的衡量标准。在相同的 α1D 范围内，当 2nc < 2.5 时，总峰的方程略微低估了模拟，但在更大的 2nc 时与它们一致。结果表明，当α1D大而2nc小时，扩展理论与近似理论的差异最大。圆聚类的计算机模拟证实了大范围的第一维饱和度 α1D (0.05 ≤ α1D ≤ 5) 和 2nc 值 (0.1 ≤ 2nc ≤ 15) 上的单峰方程。饱和度 α1D 等于需要分离的组分数量与可用于分离的第一维峰容量之比，是色谱拥挤度的衡量标准。在相同的 α1D 范围内，当 2nc < 2.5 时，总峰的方程略微低估了模拟，但在更大的 2nc 时与它们一致。结果表明，当α1D大而2nc小时，扩展理论与近似理论的差异最大。等于需要分离的组分数量与可用于分离的第一维峰容量的比率，是色谱拥挤度的度量。在相同的 α1D 范围内，当 2nc < 2.5 时，总峰的方程略微低估了模拟，但在更大的 2nc 时与它们一致。结果表明，当α1D大而2nc小时，扩展理论与近似理论的差异最大。等于需要分离的组分数量与可用于分离的第一维峰容量的比率，是色谱拥挤度的度量。在相同的 α1D 范围内，总峰的方程在 2nc < 2.5 时略微低估了模拟，但在更大的 2nc 时与它们一致。结果表明，当α1D大而2nc小时，扩展理论与近似理论的差异最大。