SIAM Journal on Mathematical Analysis, Volume 52, Issue 6, Page 5627-5657, January 2020.
We study the inverse problem, or inverse design problem, for a time-evolution Hamilton--Jacobi equation. More precisely, given a target function $u_T$ and a time horizon $T>0$, we aim to construct all the initial conditions for which the viscosity solution coincides with $u_T$ at time $T$. As is common in this kind of nonlinear equation, the target might not be reachable. We first study the existence of at least one initial condition leading the system to the given target. The natural candidate, which indeed allows determining the reachability of $u_T$, is the one obtained by reversing the direction of time in the equation, considering $u_T$ as terminal condition. In this case, we use the notion of backward viscosity solution, which provides existence and uniqueness for the terminal-value problem. We also give an equivalent reachability condition based on a differential inequality, which relates the reachability of the target with its semiconcavity properties. Then, for the case when $u_T$ is reachable, we construct the set of all the initial conditions for which the viscosity solution coincides with $u_T$ at time $T$. Note that, in general, such initial conditions are not unique. Finally, for the case when the target $u_T$ is not necessarily reachable, we study the projection of $u_T$ on the set of reachable targets, obtained by solving the problem backward and then forward in time. This projection is then identified with the solution of a fully nonlinear obstacle problem and can be interpreted as the semiconcave envelope of $u_T$, i.e., the smallest reachable target bounded from below by $u_T$.

中文翻译：

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Hamilton-Jacobi方程和半凹包络的反问题

SIAM数学分析杂志，第52卷，第6期，第5627-5657页，2020年1月。
我们研究了时间演化的Hamilton-Jacobi方程的逆问题或逆设计问题。更精确地，给定目标函数$ u_T $和时间范围$ T> 0 $，我们的目标是构造所有初始条件，其中粘度解在时间$ T $与$ u_T $一致。在这种非线性方程式中很常见，目标可能无法达到。我们首先研究至少一个导致系统达到给定目标的初始条件。确实可以确定$ u_T $的可达性的自然候选者是通过将等式中的$ u_T $视为最终条件来反转时间方向而获得的。在这种情况下，我们使用向后粘度解决方案的概念，该概念为终值问题提供了存在性和唯一性。我们还基于微分不等式给出了等效的可达性条件，该条件将目标的可达性与其半凹度属性相关联。然后，对于$ u_T $可达的情况，我们构造了所有初始条件的集合，在该条件下，粘度解在时间$ T $与$ u_T $一致。注意，通常，这种初始条件不是唯一的。最后，对于不一定要达到目标$ u_T $的情况，我们研究了$ u_T $在可达到目标的集合上的投影，这是通过向后求解问题然后及时向前求解而获得的。然后，通过完全非线性障碍问题的解决方案确定该投影，并将其解释为$ u_T $的半凹包络，即从下方由$ u_T $界定的最小可到达目标。这将目标的可达性与其半凹性相关联。然后，对于$ u_T $可达的情况，我们构造了所有初始条件的集合，在该条件下，粘度解在时间$ T $与$ u_T $一致。注意，通常，这种初始条件不是唯一的。最后，对于不一定要达到目标$ u_T $的情况，我们研究了$ u_T $在可达到目标的集合上的投影，这是通过向后求解问题然后及时向前求解而获得的。然后，通过完全非线性障碍问题的解决方案确定该投影，并将其解释为$ u_T $的半凹包络，即从下方由$ u_T $界定的最小可到达目标。这将目标的可达性与其半凹性相关联。然后，对于$ u_T $可达的情况，我们构造了所有初始条件的集合，在该条件下，粘度解在时间$ T $与$ u_T $一致。注意，通常，这种初始条件不是唯一的。最后，对于不一定要达到目标$ u_T $的情况，我们研究了$ u_T $在可达到目标的集合上的投影，这是通过向后求解问题然后及时向前求解而获得的。然后，通过完全非线性障碍问题的解决方案确定该投影，并将其解释为$ u_T $的半凹包络，即从下方由$ u_T $界定的最小可到达目标。我们构造了所有初始条件的集合，在这些初始条件下，粘度解在时间$ T $与$ u_T $一致。注意，通常，这种初始条件不是唯一的。最后，对于不一定要达到目标$ u_T $的情况，我们研究了$ u_T $在可达到目标的集合上的投影，这是通过向后求解问题然后及时向前求解而获得的。然后，通过完全非线性障碍问题的解决方案确定该投影，并将其解释为$ u_T $的半凹包络，即从下方由$ u_T $界定的最小可到达目标。我们构造了所有初始条件的集合，在这些初始条件下，粘度解在时间$ T $与$ u_T $一致。注意，通常，这种初始条件不是唯一的。最后，对于不一定要达到目标$ u_T $的情况，我们研究了$ u_T $在可达到目标的集合上的投影，这是通过向后求解问题然后及时向前求解而获得的。然后，通过完全非线性障碍问题的解决方案确定该投影，并将其解释为$ u_T $的半凹包络，即从下方由$ u_T $界定的最小可到达目标。我们研究了$ u_T $在可以达到的目标集合上的投影，该目标是通过先后解决问题然后及时解决而获得的。然后，通过完全非线性障碍问题的解决方案确定该投影，并将其解释为$ u_T $的半凹包络，即从下方由$ u_T $界定的最小可到达目标。我们研究了$ u_T $在可以达到的目标集合上的投影，该目标是通过先后解决问题然后及时解决而获得的。然后，通过完全非线性障碍问题的解决方案确定该投影，并将其解释为$ u_T $的半凹包络，即从下方由$ u_T $界定的最小可到达目标。