Let $\mathbb F$ denote a field, and let $V$ denote a vector space over $\mathbb F$ with finite positive dimension. We consider an ordered pair of $\mathbb F$-linear maps $A: V \to V$ and $A^*:V\to V$ such that (i) each of $A,A^*$ is diagonalizable; (ii) there exists an ordering $\lbrace V_i\rbrace_{i=0}^d$ of the eigenspaces of $A$ such that $A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_i+ V_{i+1}$ for $0 \leq i \leq d$, where $V_{-1} = 0$ and $V_{d+1}= 0$; (iii) there exists an ordering $\lbrace V^*_i\rbrace_{i=0}^{\delta}$ of the eigenspaces of $A^*$ such that $A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_i+ V^*_{i+1} $ for $0 \leq i \leq \delta $, where $V^*_{-1} = 0$ and $V^*_{\delta+1}= 0$; (iv) there does not exist a subspace $U$ of $V$ such that $AU\subseteq U$, $A^*U \subseteq U$, $U\not=0$, $U\not=V$. We call such a pair a tridiagonal pair on $V$. We assume that $A, A^*$ belongs to a family of tridiagonal pairs said to have $q$-Racah type. There is an infinite-dimensional algebra $\boxtimes_q$ called the $q$-tetrahedron algebra; it is generated by four copies of $U_q(\mathfrak{sl}_2)$ that are related in a certain way. Using $A, A^*$ we construct two $\boxtimes_q$-module structures on $V$. In this construction the two main ingredients are the double lowering map $\psi:V\to V$ due to Sarah Bockting-Conrad, and a certain invertible map $W:V\to V$ motivated by the spin model concept due to V. F. R. Jones.

中文翻译：

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q-Racah 型和 q-四面体代数的三对角对

让$\mathbb F$ 表示一个域，让$V$ 表示一个在$\mathbb F$ 上的有限正维向量空间。我们考虑一对有序的 $\mathbb F$-线性映射 $A: V \to V$ 和 $A^*:V\to V$ 使得 (i) $A,A^*$ 中的每一个都是可对角化的；(ii) $A$ 的特征空间存在一个排序 $\lbrace V_i\rbrace_{i=0}^d$ 使得 $A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_i+ V_{i+1 }$ 为 $0 \leq i \leq d$，其中 $V_{-1} = 0$ 且 $V_{d+1}= 0$；(iii) $A^*$ 的特征空间存在一个排序 $\lbrace V^*_i\rbrace_{i=0}^{\delta}$ 使得 $AV^*_i \subseteq V^*_{ i-1} + V^*_i+ V^*_{i+1} $ 为 $0 \leq i \leq \delta $，其中 $V^*_{-1} = 0$ 和 $V^*_{ \delta+1}= 0$; (iv) 不存在 $V$ 的子空间 $U$ 使得 $AU\subseteq U$, $A^*U \subseteq U$, $U\not=0$, $U\not=V$ . 我们称这样的一对为 $V$ 上的三对角对。我们假设 $A, A^*$ 属于被称为 $q$-Racah 类型的三对角对家族。有一个无限维代数 $\boxtimes_q$ 称为 $q$-四面体代数；它由以某种方式相关的 $U_q(\mathfrak{sl}_2)$ 的四个副本生成。使用 $A, A^*$ 我们在 $V$ 上构造了两个 $\boxtimes_q$-module 结构。在这个结构中，两个主要成分是由 Sarah Bockting-Conrad 引起的双重降低映射 $\psi:V\to V$，以及由于 VFR 由自旋模型概念激发的某个可逆映射 $W:V\to V$琼斯。A^*$ 我们在 $V$ 上构造了两个 $\boxtimes_q$-module 结构。在这个结构中，两个主要成分是由 Sarah Bockting-Conrad 引起的双重降低映射 $\psi:V\to V$，以及由于 VFR 由自旋模型概念激发的某个可逆映射 $W:V\to V$琼斯。A^*$ 我们在 $V$ 上构造了两个 $\boxtimes_q$-module 结构。在这个结构中，两个主要成分是由 Sarah Bockting-Conrad 引起的双重降低映射 $\psi:V\to V$，以及由于 VFR 由自旋模型概念激发的某个可逆映射 $W:V\to V$琼斯。