Quadratization is a transform of a system of ODEs with polynomial right-hand side into a system of ODEs with at most quadratic right-hand side via the introduction of new variables. It has been recently used as a pre-processing step for new model order reduction methods, so it is important to keep the number of new variables small. Several algorithms have been designed to search for a quadratization with the new variables being monomials in the original variables. To understand the limitations and potential ways of improving such algorithms, we study the following question: can quadratizations with not necessarily monomial new variables produce a model of substantially smaller dimension than quadratization with only monomial new variables? To do this, we restrict our attention to scalar polynomial ODEs. Our first result is that a scalar polynomial ODE $\dot{x}=p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots + a_0$ with $n\geqslant 5$ and $a_n\neq0$ can be quadratized using exactly one new variable if and only if $p(x-\frac{a_{n-1}}{n\cdot a_n})=a_nx^n+ax^2+bx$ for some $a, b \in \mathbb{C}$. In fact, the new variable can be taken $z:=(x-\frac{a_{n-1}}{n\cdot a_n})^{n-1}$. Our second result is that two non-monomial new variables are enough to quadratize all degree $6$ scalar polynomial ODEs. Based on these results, we observe that a quadratization with not necessarily monomial new variables can be much smaller than a monomial quadratization even for scalar ODEs. The main results of the paper have been discovered using computational methods of applied nonlinear algebra (Gr\"obner bases), and we describe these computations.

中文翻译：

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ODE 的二次方化：单项式与非单项式

二次化是通过引入新变量将具有多项式右侧的 ODE 系统转换为具有至多二次右侧的 ODE 系统。它最近被用作新模型降阶方法的预处理步骤，因此保持新变量的数量很少很重要。已经设计了几种算法来搜索二次化，其中新变量是原始变量中的单项式。为了理解改进此类算法的局限性和潜在方法，我们研究了以下问题：与仅具有单项式新变量的二次化相比，具有不一定单项式新变量的二次化能否产生维度小得多的模型？为此，我们将注意力限制在标量多项式 ODE 上。我们的第一个结果是标量多项式 ODE $\dot{x}=p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots + a_0$ 与 $n\geqslant 5当且仅当 $p(x-\frac{a_{n-1}}{n\cdot a_n})=a_nx^n+ax^2+ 时，可以使用一个新变量对 $ 和 $a_n\neq0$ 进行二次方化bx$ 表示一些 $a, b \in \mathbb{C}$。其实新变量可以取$z:=(x-\frac{a_{n-1}}{n\cdot a_n})^{n-1}$。我们的第二个结果是两个非单项式新变量足以对所有 6 次标量多项式 ODE 进行二次平方。基于这些结果，我们观察到，即使对于标量 ODE，具有不一定是单项式新变量的二次化也可能比单项式二次化小得多。本文的主要结果是使用应用非线性代数（Gr\"obner bases）的计算方法发现的，我们描述了这些计算。b \in \mathbb{C}$。其实新变量可以取$z:=(x-\frac{a_{n-1}}{n\cdot a_n})^{n-1}$。我们的第二个结果是两个非单项式新变量足以对所有 6 次标量多项式 ODE 进行二次平方。基于这些结果，我们观察到，即使对于标量 ODE，具有不一定是单项式新变量的二次化也可能比单项式二次化小得多。本文的主要结果是使用应用非线性代数（Gr\"obner bases）的计算方法发现的，我们描述了这些计算。b \in \mathbb{C}$。其实新变量可以取$z:=(x-\frac{a_{n-1}}{n\cdot a_n})^{n-1}$。我们的第二个结果是两个非单项式新变量足以对所有 6 次标量多项式 ODE 进行二次平方。基于这些结果，我们观察到，即使对于标量 ODE，具有不一定是单项式新变量的二次化也可能比单项式二次化小得多。本文的主要结果是使用应用非线性代数（Gr\"obner bases）的计算方法发现的，我们描述了这些计算。我们观察到，即使对于标量 ODE，具有不一定是单项式新变量的二次化也可能比单项式二次化小得多。本文的主要结果是使用应用非线性代数（Gr\"obner bases）的计算方法发现的，我们描述了这些计算。我们观察到，即使对于标量 ODE，具有不一定是单项式新变量的二次化也可能比单项式二次化小得多。本文的主要结果是使用应用非线性代数（Gr\"obner bases）的计算方法发现的，我们描述了这些计算。