The Euclidean $k$-median problem is defined in the following manner: given a set $\mathcal{X}$ of $n$ points in $\mathbb{R}^{d}$, and an integer $k$, find a set $C \subset \mathbb{R}^{d}$ of $k$ points (called centers) such that the cost function $\Phi(C,\mathcal{X}) \equiv \sum_{x \in \mathcal{X}} \min_{c \in C} \|x-c\|_{2}$ is minimized. The Euclidean $k$-means problem is defined similarly by replacing the distance with squared distance in the cost function. Various hardness of approximation results are known for the Euclidean $k$-means problem. However, no hardness of approximation results were known for the Euclidean $k$-median problem. In this work, assuming the unique games conjecture (UGC), we provide the first hardness of approximation result for the Euclidean $k$-median problem. Furthermore, we study the hardness of approximation for the Euclidean $k$-means/$k$-median problems in the bi-criteria setting where an algorithm is allowed to choose more than $k$ centers. That is, bi-criteria approximation algorithms are allowed to output $\beta k$ centers (for constant $\beta>1$) and the approximation ratio is computed with respect to the optimal $k$-means/$k$-median cost. In this setting, we show the first hardness of approximation result for the Euclidean $k$-median problem for any $\beta < 1.015$, assuming UGC. We also show a similar bi-criteria hardness of approximation result for the Euclidean $k$-means problem with a stronger bound of $\beta < 1.28$, again assuming UGC.

中文翻译：

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欧几里得 $k$-中值的近似硬度

欧几里得 $k$-中值问题以如下方式定义：给定 $\mathbb{R}^{d}$ 中 $n$ 个点的集合 $\mathcal{X}$，以及一个整数 $k$，找到一组 $C \subset \mathbb{R}^{d}$ 的 $k$ 个点（称为中心），使得成本函数 $\Phi(C,\mathcal{X}) \equiv \sum_{x \ in \mathcal{X}} \min_{c \in C} \|xc\|_{2}$ 被最小化。欧几里得 $k$-means 问题的定义类似，通过在成本函数中用平方距离替换距离。对于欧几里得 $k$-means 问题，各种近似结果的硬度是已知的。然而，对于欧几里得 $k$-中值问题，不知道近似结果的硬度。在这项工作中，假设独特的博弈猜想（UGC），我们提供了欧几里得 $k$-中值问题的近似结果的第一硬度。此外，我们研究了在允许算法选择超过 $k$ 个中心的双标准设置中欧几里得 $k$-means/$k$-median 问题的近似难度。也就是说，允许双准则逼近算法输出 $\beta k$ 中心（对于常数 $\beta>1$），并且近似比率是相对于最优 $k$-means/$k$-median 计算的成本。在这个设置中，我们展示了欧几里得 $k$-中值问题的近似结果的第一个硬度，假设 UGC，任何 $\beta < 1.015$。我们还展示了欧几里得 $k$-means 问题的近似结果的类似双标准硬度，具有更强的 $\beta < 1.28 $ 界限，再次假设 UGC。允许双准则逼近算法输出 $\beta k$ 中心（对于常数 $\beta>1$），并根据最优 $k$-means/$k$-median 成本计算逼近比。在此设置中，假设 UGC，我们展示了任何 $\beta < 1.015$ 的欧几里得 $k$-中值问题的近似结果的第一硬度。我们还展示了欧几里得 $k$-means 问题的近似结果的类似双标准硬度，具有更强的 $\beta < 1.28 $ 界限，再次假设 UGC。允许双准则逼近算法输出 $\beta k$ 中心（对于常数 $\beta>1$），并根据最优 $k$-means/$k$-median 成本计算逼近比。在此设置中，假设 UGC，我们展示了任何 $\beta < 1.015$ 的欧几里得 $k$-中值问题的近似结果的第一硬度。我们还展示了欧几里得 $k$-means 问题的近似结果的类似双标准硬度，具有更强的 $\beta < 1.28 $ 界限，再次假设 UGC。