Using the calculus of variations, we prove the following structure theorem for noise stable partitions: a partition of $n$-dimensional Euclidean space into $m$ disjoint sets of fixed Gaussian volumes that maximize their noise stability must be $(m-1)$-dimensional, if $m-1\leq n$. In particular, the maximum noise stability of a partition of $m$ sets in $\mathbb{R}^{n}$ of fixed Gaussian volumes is constant for all $n$ satisfying $n\geq m-1$. From this result, we obtain: (i) A proof of the Plurality is Stablest Conjecture for $3$ candidate elections, for all correlation parameters $\rho$ satisfying $0<\rho<\rho_{0}$, where $\rho_{0}>0$ is a fixed constant (that does not depend on the dimension $n$), when each candidate has an equal chance of winning. (ii) A variational proof of Borell's Inequality (corresponding to the case $m=2$). The structure theorem answers a question of De-Mossel-Neeman and of Ghazi-Kamath-Raghavendra. Item (i) is the first proof of any case of the Plurality is Stablest Conjecture of Khot-Kindler-Mossel-O'Donnell (2005) for fixed $\rho$, with the case $\rho\to1^{-}$ being solved recently. Item (i) is also the first evidence for the optimality of the Frieze-Jerrum semidefinite program for solving MAX-3-CUT, assuming the Unique Games Conjecture. Without the assumption that each candidate has an equal chance of winning in (i), the Plurality is Stablest Conjecture is known to be false.

中文翻译：

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三个候选复数对于小相关是最稳定的

使用变分法，我们证明了噪声稳定分区的以下结构定理：将 $n$ 维欧几里得空间划分为 $m$ 固定高斯体积的不相交集，最大化其噪声稳定性必须是 $(m-1) $-维，如果 $m-1\leq n$。特别是，固定高斯卷的 $\mathbb{R}^{n}$ 中的 $m$ 分区的最大噪声稳定性对于满足 $n\geq m-1$ 的所有 $n$ 是恒定的。从这个结果中，我们得到： (i) 对于 $3$ 候选人选举，对于满足 $0<\rho<\rho_{0}$ 的所有相关参数 $\rho$ 而言，多元性的证明是最稳定的猜想，其中 $\rho_{ 0}>0$ 是一个固定常数（不依赖于维度 $n$），此时每个候选人都有平等的获胜机会。(ii) Borell 不等式的变分证明（对应于 $m=2$ 的情况）。结构定理回答了 De-Mossel-Neeman 和 Ghazi-Kamath-Raghavendra 的问题。第 (i) 项是对固定 $\rho$ 的 Khot-Kindler-Mossel-O'Donnell (2005) 最稳定猜想的任何情况的第一个证明，案例 $\rho\to1^{-}$最近正在解决。项目 (i) 也是解决 MAX-3-CUT 的 Frieze-Jerrum 半定程序最优性的第一个证据，假设唯一游戏猜想。如果没有假设每个候选人在 (i) 中获胜的机会均等，则已知多数是最稳定的猜想是错误的。最近解决了 $\rho\to1^{-}$ 的情况。项目 (i) 也是解决 MAX-3-CUT 的 Frieze-Jerrum 半定程序最优性的第一个证据，假设唯一游戏猜想。如果没有假设每个候选人在 (i) 中获胜的机会均等，则已知多数是最稳定的猜想是错误的。最近解决了 $\rho\to1^{-}$ 的情况。项目 (i) 也是解决 MAX-3-CUT 的 Frieze-Jerrum 半定程序最优性的第一个证据，假设唯一游戏猜想。如果没有假设每个候选人在 (i) 中获胜的机会均等，则已知多数是最稳定的猜想是错误的。