Given a bipartite graph $G=(V_b,V_r,E)$, the $2$-Level Quasi-Planarity problem asks for the existence of a drawing of $G$ in the plane such that the vertices in $V_b$ and in $V_r$ lie along two parallel lines $\ell_b$ and $\ell_r$, respectively, each edge in $E$ is drawn in the unbounded strip of the plane delimited by $\ell_b$ and $\ell_r$, and no three edges in $E$ pairwise cross. We prove that the $2$-Level Quasi-Planarity problem is NP-complete. This answers an open question of Dujmovi\'c, P\'{o}r, and Wood. Furthermore, we show that the problem becomes linear-time solvable if the ordering of the vertices in $V_b$ along $\ell_b$ is prescribed. Our contributions provide the first results on the computational complexity of recognizing quasi-planar graphs, which is a long-standing open question. Our linear-time algorithm exploits several ingredients, including a combinatorial characterization of the positive instances of the problem in terms of the existence of a planar embedding with a caterpillar-like structure, and an SPQR-tree-based algorithm for testing the existence of such a planar embedding. Our algorithm builds upon a classification of the types of embeddings with respect to the structure of the portion of the caterpillar they contain and performs a computation of the realizable embedding types based on a succinct description of their features by means of constant-size gadgets.

中文翻译：

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2 级准平面或毛毛虫如何攀爬 (SPQR-) 树

给定一个二部图 $G=(V_b,V_r,E)$，$2$-Level Quasi-Planarity 问题要求在平面中存在 $G$ 的绘图，使得 $V_b$ 和 $ 中的顶点V_r$ 分别位于 $\ell_b$ 和 $\ell_r$ 两条平行线，$E$ 中的每条边都绘制在由 $\ell_b$ 和 $\ell_r$ 分隔的平面的无界带中，并且没有三个边在 $E$ 成对交叉中。我们证明 $2$-Level 准平面问题是 NP 完全的。这回答了 Dujmovi\'c、P\'{o}r 和 Wood 的一个悬而未决的问题。此外，我们表明，如果 $V_b$ 中的顶点沿 $\ell_b$ 的顺序是规定的，则问题变得线性时间可解。我们的贡献提供了关于识别准平面图的计算复杂性的第一个结果，这是一个长期存在的悬而未决的问题。我们的线性时间算法利用了几个要素，包括问题的正面实例的组合表征，根据具有类似毛虫的结构的平面嵌入的存在，以及基于 SPQR 树的算法来测试此类结构的存在平面嵌入。我们的算法建立在嵌入类型的分类基础上，它们包含的毛毛虫部分的结构，并通过恒定大小的小工具基于对它们的特征的简洁描述来计算可实现的嵌入类型。以及一种基于 SPQR 树的算法，用于测试这种平面嵌入的存在性。我们的算法建立在嵌入类型的分类基础上，它们包含的毛毛虫部分的结构，并通过恒定大小的小工具基于对它们的特征的简洁描述来计算可实现的嵌入类型。以及一种基于 SPQR 树的算法，用于测试这种平面嵌入的存在性。我们的算法建立在嵌入类型的分类基础上，它们包含的毛毛虫部分的结构，并通过恒定大小的小工具基于对它们的特征的简洁描述来计算可实现的嵌入类型。