Our goal is to find an asymptotic behavior as $n\to \infty$ of the orthogonal polynomials $P_n\left(z\right)$ defined by Jacobi recurrence coefficients $a_n$ (off-diagonal terms) and $b_n$ (diagonal terms). We consider the case $a_n\to \infty$, $b_n\to \infty$ in such a way that $\sum a_n^{-1}<\infty$ (that is, the Carleman condition is violated) and ${\gamma }_n:=2^{-1}{b}_n{\left(a_n{a}_{n-1}\right)}^{-1∕2}\to \gamma$ as $n\to \infty$. In the case $\left|\gamma \right|\ne 1$ asymptotic formulas for $P_n\left(z\right)$ are known; they depend crucially on the sign of $\left|\gamma \right|-1$. We study the critical case $\left|\gamma \right|=1$. The formulas obtained are qualitatively different in the cases $\left|{\gamma }_n\right|\to 1-0$ and $\left|{\gamma }_n\right|\to 1+0$. Another goal of the paper is to advocate an approach to a study of asymptotic behavior of $P_n\left(z\right)$ based on a close analogy of the Jacobi difference equations and differential equations of Schrödinger type.

我们的目标是找到一个渐近行为 $ñ\to \infty$ 正交多项式的 $P_{ñ}（ž）$ 由Jacobi递归系数定义 ${\mathrm{一种}}_{ñ}$ （非对角项）和 $b_{ñ}$（对角术语）。我们考虑情况${\mathrm{一种}}_{ñ}\to \infty$， $b_{ñ}\to \infty$ 以这种方式 $\sum {\mathrm{一种}}_{ñ}^{-\mathrm{1个}}<\infty$ （即违反了Carleman条件）并且 ${\gamma }_{ñ}：=2^{-\mathrm{1个}}{b}_{ñ}{（{\mathrm{一种}}_{ñ}{\mathrm{一种}}_{ñ-\mathrm{1个}}）}^{-\mathrm{1个}∕2}\to \gamma$ 如 $ñ\to \infty$。在这种情况下$\left|\gamma \right|\ne \mathrm{1个}$ 的渐近公式 $P_{ñ}（ž）$众所周知 他们严重依赖于$\left|\gamma \right|-\mathrm{1个}$。我们研究关键情况$\left|\gamma \right|=\mathrm{1个}$。在某些情况下，获得的公式在质上有所不同$\left|{\gamma }_{ñ}\right|\to \mathrm{1个}-0$ 和 $\left|{\gamma }_{ñ}\right|\to \mathrm{1个}+0$。本文的另一个目标是提倡一种研究神经元渐近行为的方法。$P_{ñ}（ž）$ 基于Jacobi差分方程和Schrödinger型微分方程的紧密类比。