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Construction of solutions for a critical problem with competing potentials via local Pohozaev identities
Communications in Contemporary Mathematics ( IF 1.6 ) Pub Date : 2020-10-23 , DOI: 10.1142/s0219199720500716 Qihan He 1 , Chunhua Wang 2 , Da-Bin Wang 3
Communications in Contemporary Mathematics ( IF 1.6 ) Pub Date : 2020-10-23 , DOI: 10.1142/s0219199720500716 Qihan He 1 , Chunhua Wang 2 , Da-Bin Wang 3
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In this paper, we consider the following critical equation:
− Δ u + V ( y ) u = K ( y ) u N + 2 N − 2 , u > 0 , u ∈ H 1 ( ℝ N ) ,
where ( y ′ , y ″ ) ∈ ℝ 2 × ℝ N − 2 , V ( | y ′ | , y ″ ) and K ( | y ′ | , y ″ ) are two nonnegative and bounded functions. Using a finite-dimensional reduction argument and local Pohozaev type of identities, we show that if N ≥ 5 , K ( r , y ″ ) has a stable critical point ( r 0 , y 0 ″ ) with r 0 > 0 , K ( r 0 , y 0 ″ ) > 0 and B 1 : = V ( r 0 , y 0 ″ ) ∫ ℝ N U 0 , 1 2 d y − Δ K ( r 0 , y 0 ″ ) 2 ∗ N ∫ ℝ N | y | 2 U 0 , 1 2 ∗ d y > 0 , then the above equation has infinitely many positive solutions, where U 0 , 1 is the unique positive solution of − Δ u = u N + 2 N − 2 with u ( 0 ) = max y ∈ ℝ N u ( y ) . Combining the results of [S. Peng, C. Wang and S. Wei, Constructing solutions for the prescribed scalar curvature problem via local Pohozaev identities, to appear in J. Differential Equations ; S. Peng, C. Wang and S. Yan, Construction of solutions via local Pohozaev identities, J. Funct. Anal. 274 (2018) 2606–2633], it implies that the role of stable critical points of K ( r , y ″ ) in constructing bump solutions is more important than that of V ( r , y ″ ) and that V ( r 0 , y 0 ″ ) can influence the sign of Δ K ( r 0 , y 0 ″ ) , i.e. Δ K ( r 0 , y 0 ″ ) can be nonnegative, different from that in [S. Peng, C. Wang and S. Wei, Constructing solutions for the prescribed scalar curvature problem via local Pohozaev identities, to appear in J. Differential Equations ]. The concentration points of the solutions locate near the stable critical points of K ( r , y ″ ) , which include the case of a saddle point.
中文翻译:
通过本地 Pohozaev 身份构建具有竞争潜力的关键问题的解决方案
在本文中,我们考虑以下关键方程:
- Δ 你 + 五 ( 是的 ) 你 = ķ ( 是的 ) 你 ñ + 2 ñ - 2 , 你 > 0 , 你 ∈ H 1 ( ℝ ñ ) ,
在哪里( 是的 ' , 是的 ” ) ∈ ℝ 2 × ℝ ñ - 2 ,五 ( | 是的 ' | , 是的 ” ) 和ķ ( | 是的 ' | , 是的 ” ) 是两个非负有界函数。使用有限维约简参数和局部 Pohozaev 类型的恒等式,我们证明如果ñ ≥ 5 ,ķ ( r , 是的 ” ) 有一个稳定的临界点( r 0 , 是的 0 ” ) 和r 0 > 0 , ķ ( r 0 , 是的 0 ” ) > 0 和乙 1 : = 五 ( r 0 , 是的 0 ” ) ∫ ℝ ñ ü 0 , 1 2 d 是的 - Δ ķ ( r 0 , 是的 0 ” ) 2 * ñ ∫ ℝ ñ | 是的 | 2 ü 0 , 1 2 * d 是的 > 0 ,则上式有无穷多个正解,其中ü 0 , 1 是的唯一正解 - Δ 你 = 你 ñ + 2 ñ - 2 和你 ( 0 ) = 最大限度 是的 ∈ ℝ ñ 你 ( 是的 ) . 结合 [S. Peng, C. Wang 和 S. Wei,通过局部 Pohozaev 恒等式构造规定的标量曲率问题的解决方案,出现在J. 微分方程 ; S. Peng、C. Wang 和 S. Yan,通过本地 Pohozaev 身份构建解决方案,J. 功能。肛门。 274 (2018) 2606-2633],这意味着稳定临界点的作用ķ ( r , 是的 ” ) 在构建凹凸解决方案中比五 ( r , 是的 ” ) 然后五 ( r 0 , 是的 0 ” ) 可以影响符号Δ ķ ( r 0 , 是的 0 ” ) , IEΔ ķ ( r 0 , 是的 0 ” ) 可以是非负的,不同于 [S. Peng, C. Wang 和 S. Wei,通过局部 Pohozaev 恒等式构造规定的标量曲率问题的解决方案,出现在J. 微分方程 ]。溶液的浓度点位于稳定临界点附近ķ ( r , 是的 ” ) , 其中包括鞍点的情况。
更新日期:2020-10-23
中文翻译:
通过本地 Pohozaev 身份构建具有竞争潜力的关键问题的解决方案
在本文中,我们考虑以下关键方程: