Given a prime power $q$ and an integer $n\geq2$, we establish a sufficient condition for the existence of a primitive pair $(\alpha,f(\alpha))$ where $\alpha \in \mathbb{F}_q$ and $f(x) \in \mathbb{F}_q(x)$ is a rational function of degree $n$. (Here $f=f_1/f_2$, where $f_1, f_2$ are coprime polynomials of degree $n_1,n_2$, respectively, and $n_1+n_2=n$.) For any $n$, such a pair is guaranteed to exist for sufficiently large $q$. Indeed, when $n=2$, such a pair definitely does {\em not} exist only for 28 values of $q$ and possibly (but unlikely) only for at most $3911$ other values of $q$.

中文翻译：

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有限域的原始元素处的有理函数的原始值

给定一个素数幂 $q$ 和一个整数 $n\geq2$，我们建立了一个原始对 $(\alpha,f(\alpha))$ 存在的充分条件，其中 $\alpha \in \mathbb{F }_q$ 和 $f(x) \in \mathbb{F}_q(x)$ 是 $n$ 次的有理函数。（这里$f=f_1/f_2$，其中$f_1, f_2$ 分别是$n_1,n_2$ 次的互质多项式，$n_1+n_2=n$。）对于任何$n$，这样的对是有保证的存在足够大的 $q$。事实上，当 $n=2$ 时，这样的一对肯定 {\em not} 仅存在于 $q$ 的 28 个值，并且可能（但不太可能）仅存在至多 $3911$ 的其他 $q$ 值。