Abstract In this paper, we prove the existence of maximizers for the sharp Moser–Trudinger type inequalities in whole space R N , N ≥ 2 with more general nonlinearity. The main key in our proof is a precise estimate of the concentrating level of the Moser–Trudinger functional associated with our inequalities on the normalized concentrating sequences. This estimate solves a heavily non-trivial and open problem related to the sharp Moser–Trudinger inequality. Our method gives an alternative proof of the existence of maximizers for the Moser–Trudinger inequality and singular Moser–Trudinger inequality in whole space R N due to Li and Ruf [30] and Li and Yang [31] without using blow-up analysis argument.

中文翻译：

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整个空间 RN 中尖锐 Moser-Trudinger 型不等式的极值函数

摘要 在本文中，我们证明了整个空间 RN 中尖锐 Moser-Trudinger 型不等式的最大化器的存在，N ≥ 2 具有更一般的非线性。我们证明的主要关键是精确估计与我们在归一化集中序列上的不等式相关的 Moser-Trudinger 泛函的集中水平。这个估计解决了一个与尖锐的 Moser-Trudinger 不等式相关的重要且开放的问题。由于 Li 和 Ruf [30] 以及 Li 和 Yang [31]，我们的方法给出了在整个空间 RN 中 Moser-Trudinger 不等式和奇异 Moser-Trudinger 不等式的最大值存在的另一种证明，而不使用爆炸分析论证。