Abstract Let G be a graph with vertex set V and let g , f : V → Z + be two functions such that g ≤ f . We say that G has all ( g , f ) -factors if G has an h -factor for every h : V → Z + such that g ( v ) ≤ h ( v ) ≤ f ( v ) for every v ∈ V and ∑ v ∈ V h ( v ) ≡ 0 ( mod 2 ) . Two decades ago, Niessen derived from Tutte’s f -factor theorem a similar characterization for the property of graphs having all ( g , f ) -factors and asked whether there is a polynomial time algorithm for testing whether a graph G has all ( g , f ) -factors. (A characterization of graphs having all ( g , f ) -Factors, (Niessen, 1998).) In this paper, we show that it is NP-hard to determine whether a graph G has all ( g , f ) -factors, which gives a negative answer to the question of Niessen.

中文翻译：

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关于所有(g,f)-因子问题的复杂性

摘要 令 G 是一个顶点集为 V 的图，并令 g , f : V → Z + 是两个函数，使得 g ≤ f 。我们说 G 具有所有 ( g , f ) -因子，如果 G 对每个 h 都有一个 h -因子： V → Z + 使得 g ( v ) ≤ h ( v ) ≤ f ( v ) 对于每个 v ∈ V 并且∑ v ∈ V h ( v ) ≡ 0 ( mod 2 ) 。20 年前，Niessen 从 Tutte 的 f 因子定理推导出了具有所有 ( g , f ) - 因子的图的性质的类似表征，并询问是否存在多项式时间算法来测试图 G 是否具有所有 ( g , f ) -因素。（具有所有 ( g , f ) -因子的图的表征，（Niessen，1998）。）在本文中，我们表明确定图 G 是否具有所有 ( g , f ) -因子是 NP 难的，这对尼森的问题给出了否定的答案。