In this paper we study the Cauchy problem for the generalized Boussinesq equation with initial data in modulation spaces $M^{s}_{p^\prime,q}(\mathbb{R}^n),$ $n\geq 1.$ After a decomposition of the Boussinesq equation in a $2\times 2$-nonlinear system, we obtain the existence of global and local solutions in several classes of functions with values in $ M^s_{p,q}\times D^{-1}JM^s_{p,q}$ spaces for suitable $p,q$ and $s,$ including the special case $p=2,q=1$ and $s=0.$ Finally, we prove some results of scattering and asymptotic stability in the framework of modulation spaces.

中文翻译：

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调制空间中Boussinesq方程的存在论

在本文中，我们研究了具有调制空间中初始数据的广义 Boussinesq 方程的柯西问题 $M^{s}_{p^\prime,q}(\mathbb{R}^n),$ $n\geq 1 .$ 在$2\times 2$-非线性系统中对Boussinesq 方程进行分解后，我们得到了值在$ M^s_{p,q}\times D^ 的几类函数中全局和局部解的存在性{-1}JM^s_{p,q}$ 空间适合 $p,q$ 和 $s,$ 包括特殊情况 $p=2,q=1$ 和 $s=0.$ 最后，我们证明调制空间框架下散射和渐近稳定性的一些结果。