We give an expression for the Garsia entropy of Bernoulli convolutions in terms of products of matrices. This gives an explicit rate of convergence of the Garsia entropy and shows that one can calculate the Hausdorff dimension of the Bernoulli convolution $\nu_\beta$ to arbitrary given accuracy whenever $\beta$ is algebraic. In particular, if the Garsia entropy $H(\beta)$ is not equal to $\log(\beta)$ then we have a finite time algorithm to determine whether or not $\mathrm{dim}_\mathrm{H} (\nu_\beta)=1$.

中文翻译：

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关于伯努利卷积的豪斯多夫维数

我们根据矩阵的乘积给出了伯努利卷积的 Garsia 熵的表达式。这给出了 Garsia 熵的明确收敛速度，并表明只要 $\beta$ 是代数的，就可以将伯努利卷积 $\nu_\beta$ 的 Hausdorff 维数计算为任意给定的精度。特别地，如果 Garsia 熵 $H(\beta)$ 不等于 $\log(\beta)$ 那么我们有一个有限时间算法来确定 $\mathrm{dim}_\mathrm{H} (\nu_\beta)=1$。