A two-stage flexible flow shop scheduling is a manufacturing infrastructure designed to process a set of jobs, in which a single machine is available at the first stage and m parallel machines are available at the second stage. At the second stage, each task can be processed by multiple parallel machines. The objective is to minimize the maximum job completion time, i.e., the makespan. Sun et al. (J Softw 25:298–313, 2014) presented an \(O(n\log n)\)-time 3-approximation algorithm for \(F2(1, Pm)~|~size_i~|~C_{\max }\) under some special conditions. Zhang et al. (J Comb Optim 39:1–14, 2020) presented a 2.5-approximation algorithm for \(F2(1, P2)~|~line_i~|~C_{\max }\) and a 2.67-approximation algorithm for \(F2(1, P3)~|~line_i~|~C_{\max }\), which both run in linear time. In this paper, we achieved following improved results: for \(F2(1, P2)~|~line_i~|~C_{\max }\), we present an \(O(n\log n)\)-time 2.25-approximation algorithm, for \(F2(1, P3)~|~line_i~|~C_{\max }\), we present an \(O(n\log n)\)-time 7/3-approximation algorithm, for \(F2(1, Pm)~|~size_i~|~C_{\max }\) with the assumption \( \mathop {\min }_{1 \le i \le n} \left\{ {{p_{1i}}} \right\} \ge \mathop {\max }_{1 \le i \le n} \left\{ {{p_{2i}}} \right\} \), we present a linear time optimal algorithm.

两阶段灵活的流水车间调度是一种用于处理一组作业的制造基础架构，其中在第一阶段可使用一台机器，在第二阶段可使用m台并行机器。在第二阶段，每个任务可以由多台并行计算机处理。目的是最大程度地减少最大作业完成时间，即制造时间。Sun等。（J Softw 25：298–313，2014）提出了\（O（n \ log n）\） -时间3逼近算法，用于\（F2（1，Pm）〜|〜size_i〜|〜C _ {\ max } \）在某些特殊条件下。张等。（J Comb Optim 39：1-14，2020）提出了\（F2（1，P2）〜|〜line_i〜|〜C _ {\ max} \）的2.5近似算法和2.67的近似算法。\（F2（1，P3）〜|〜line_i〜|〜C _ {\ max} \），它们都以线性时间运行。在本文中，我们获得了以下改进的结果：对于\（F2（1，P2）〜|〜line_i〜|〜C _ {\ max} \），我们给出一个\（O（n \ log n）\） -时间2.25逼近算法，对于\（F2（1，P3）〜|〜line_i〜|〜C _ {\ max} \），我们给出一个\（O（n \ log n）\） -时间7/3逼近算法，对\（F2（1，PM）〜| |〜size_i ~~ç_ {\ MAX} \） ，并假设\（\ mathop {\分钟} _ {1个\文件I \文件N} \左\ { {{p_ {1i}}} \ right \} \ ge \ mathop {\ max} _ {1 \ le i \ le n} \ left \ {{{p_ {2i}}} \ right \} \），我们提出了线性时间最优算法。