We introduce the family of Theta operators $\Theta_f$ indexed by symmetric functions $f$ that allow us to conjecture a compositional refinement of the Delta conjecture of Haglund, Remmel and Wilson for $\Delta_{e_{n-k-1}}'e_n$. We show that the $4$-variable Catalan theorem of Zabrocki is precisely the Schroder case of our compositional Delta conjecture, and we show how to relate this conjecture to the Dyck path algebra introduced by Carlsson and Mellit, extending one of their results. Again using the Theta operators, we conjecture a touching refinement of the generalized Delta conjecture for $\Delta_{h_m}\Delta_{e_{n-k-1}}'e_n$, and prove the case $k=0$, extending the shuffle theorem of Carlsson and Mellit to a generalized shuffle theorem for $\Delta_{h_m}\nabla e_n$. Moreover we show how this implies the case $k=0$ of our generalized Delta square conjecture for $\frac{[n-k]_t}{[n]_t}\Delta_{h_m}\Delta_{e_{n-k}}\omega(p_n)$, extending the square theorem of Sergel to a generalized square theorem for $\Delta_{h_m}\nabla \omega(p_n)$. Still the Theta operators will provide a conjectural formula for the Frobenius characteristic of super-diagonal coinvariants with two sets of Grassmanian variables, extending the one of Zabrocki for the case with one set of such variables. We propose a combinatorial interpretation of this last formula at $q=1$, leaving open the problem of finding a dinv statistic that gives the whole symmetric function.

中文翻译：

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Theta 算子、改进的 Delta 猜想和共变量

我们引入了由对称函数 $f$ 索引的 Theta 算子 $\Theta_f$ 族，这使我们能够对 $\Delta_{e_{nk-1}}'e_n 的 Haglund、Remmel 和 Wilson 的 Delta 猜想进行组合改进$. 我们证明了 Zabrocki 的 $4$-variable Catalan 定理正是我们的组合 Delta 猜想的 Schroder 情形，并且我们展示了如何将这个猜想与 Carlsson 和 Mellit 引入的 Dyck 路径代数联系起来，扩展了他们的一个结果。再次使用 Theta 算子，我们对 $\Delta_{h_m}\Delta_{e_{nk-1}}'e_n$ 的广义 Delta 猜想进行了感人的改进，并证明 $k=0$ 的情况，扩展了 shuffle Carlsson 和 Mellit 定理到 $\Delta_{h_m}\nabla e_n$ 的广义洗牌定理。此外，我们展示了这如何意味着 $\frac{[nk]_t}{[n]_t}\Delta_{h_m}\Delta_{e_{nk}}\omega 的广义 Delta 平方猜想的 $k=0$ (p_n)$，​​将 Sergel 的平方定理扩展为 $\Delta_{h_m}\nabla \omega(p_n)$ 的广义平方定理。仍然 Theta 算子将为具有两组 Grassmanian 变量的超对角共变量的 Frobenius 特征提供一个推测公式，在具有一组此类变量的情况下扩展 Zabrocki 的一个。我们在 $q=1$ 处提出了最后一个公式的组合解释，留下了找到给出整个对称函数的 dinv 统计量的问题。将 Sergel 的平方定理扩展为 $\Delta_{h_m}\nabla\omega(p_n)$ 的广义平方定理。仍然 Theta 算子将为具有两组 Grassmanian 变量的超对角共变量的 Frobenius 特征提供一个推测公式，在具有一组此类变量的情况下扩展 Zabrocki 的一个。我们在 $q=1$ 处提出了最后一个公式的组合解释，留下了找到给出整个对称函数的 dinv 统计量的问题。将 Sergel 的平方定理扩展为 $\Delta_{h_m}\nabla\omega(p_n)$ 的广义平方定理。仍然 Theta 算子将为具有两组 Grassmanian 变量的超对角共变量的 Frobenius 特征提供一个推测公式，在具有一组此类变量的情况下扩展 Zabrocki 的一个。我们在 $q=1$ 处提出了最后一个公式的组合解释，留下了找到给出整个对称函数的 dinv 统计量的问题。