Let k be a field, $x_1, \dots , x_n$ be independent variables and let $L_n = k(x_1, \dots , x_n)$ . The symmetric group $\operatorname {\Sigma }_n$ acts on $L_n$ by permuting the variables, and the projective linear group $\operatorname {PGL}_2$ acts by $$ \begin{align*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\, \colon x_i \longmapsto \frac{a x_i + b}{c x_i + d} \end{align*} $$ for each $i = 1, \dots , n$ . The fixed field $L_n^{\operatorname {PGL}_2}$ is called “the field of cross-ratios”. Given a subgroup $S \subset \operatorname {\Sigma }_n$ , H. Tsunogai asked whether $L_n^S$ rational over $K_n^S$ . When $n \geqslant 5,$ the second author has shown that $L_n^S$ is rational over $K_n^S$ if and only if S has an orbit of odd order in $\{ 1, \dots , n \}$ . In this paper, we answer Tsunogai’s question for $n \leqslant 4$ .

设k是一个字段， $x_1, \dots , x_n$ 是自变量，并让 $L_n = k(x_1, \dots , x_n)$ 。对称群 $\operatorname {\Sigma }_n$ 通过置换变量作用于 $L_n$ ，射影线性群 $\operatorname {PGL}_2$ 作用于 $$ \begin{align*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\, \colon x_i \longmapsto \frac{a x_i + b}{c x_i + d} \end{align*} $$ 对于每个 $i = 1, \点，n$ 。固定域 $L_n^{\operatorname {PGL}_2}$ 称为“交叉比域”。给定一个子群 $S \subset \operatorname {\Sigma }_n$ , H. Tsunogai 问 $L_n^S$ 是否 比 $K_n^S$ 理性 。当 $n \geqslant 5,$ 第二作者已经证明 $L_n^S$ 比 $K_n^S$ 有理 当且仅当S在 $\{ 1, \dots , n \} 中有一个奇数阶轨道 美元 。在本文中，我们针对 $n \leqslant 4$ 回答了 Tsunogai 的问题 。