Let $\textbf{a}_1,\dots, \textbf{a}_r$ be vectors in a half-space of $\mathbb{R}^n$. We call $$C=\textbf{a}_1\mathbb{R}^++\cdots+\textbf{a}_r \mathbb{R}^+$$ a convex polyhedral cone, and call $\{\textbf{a}_1,\dots, \textbf{a}_r\}$ a generator set of $C$. A generator set with the minimal cardinality is called a frame. We investigate the translation tilings of convex polyhedral cones. Let $T\subset \mathbb{R}^n$ be a compact set such that $T$ is the closure of its interior, and $\mathcal{J}\subset \mathbb{R}^n$ be a discrete set. We say $(T,\mathcal{J})$ is a translation tiling of $C$ if $T+\mathcal{J}=C$ and any two translations of $T$ in $T+\mathcal{J}$ are disjoint in Lebesgue measure. We show that if the cardinality of a frame of $C$ is larger than $\dim C$, the dimension of $C$, then $C$ does not admit any translation tiling; if the cardinality of a frame of $C$ equals $\dim C$, then the translation tilings of $C$ can be reduced to the translation tilings of $(\mathbb{Z}^+)^n$. As an application, we characterize all the self-affine tiles possessing polyhedral corners, which generalizes a result of Odlyzko [A. M. Odlyzko, \textit{Non-negative digit sets in positional number systems}, Proc. London Math. Soc., \textbf{37}(1978), 213-229.].

中文翻译：

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凸多面体圆锥的拼贴与自仿射拼贴的拓扑特性

令 $\textbf{a}_1,\dots,\textbf{a}_r$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的半空间中的向量。我们称 $$C=\textbf{a}_1\mathbb{R}^++\cdots+\textbf{a}_r \mathbb{R}^+$$ 为凸多面锥，并称 $\{\textbf{ a}_1,\dots,\textbf{a}_r\}$$C$ 的发电机组。具有最小基数的生成器集称为框架。我们研究了凸多面体锥体的平移平铺。令 $T\subset \mathbb{R}^n$ 是一个紧集，使得 $T$ 是其内部的闭包，而 $\mathcal{J}\subset \mathbb{R}^n$ 是一个离散集. 我们说 $(T,\mathcal{J})$ 是 $C$ 的平移平铺，如果 $T+\mathcal{J}=C$ 并且 $T$ 在 $T+\mathcal{J}$ 中的任意两个平移是在勒贝格测度中不相交。我们证明，如果$C$ 的框架的基数大于$\dim C$，即$C$ 的维度，则$C$ 不允许任何平移平铺；如果 $C$ 的帧的基数等于 $\dim C$，则 $C$ 的平移平铺可以简化为 $(\mathbb{Z}^+)^n$ 的平移平铺。作为一个应用，我们描述了所有具有多面角的自仿射瓦片，这概括了 Odlyzko [AM Odlyzko，\textit{位置数字系统中的非负数字集}，Proc。伦敦数学。Soc., \textbf{37}(1978), 213-229.]。