We consider the problem of counting the number of copies of a fixed graph $H$ within an input graph $G$. This is one of the most well-studied algorithmic graph problems, with many theoretical and practical applications. We focus on solving this problem when the input $G$ has bounded degeneracy. This is a rich family of graphs, containing all graphs without a fixed minor (e.g. planar graphs), as well as graphs generated by various random processes (e.g. preferential attachment graphs). We say that $H$ is easy if there is a linear-time algorithm for counting the number of copies of $H$ in an input $G$ of bounded degeneracy. A seminal result of Chiba and Nishizeki from '85 states that every $H$ on at most 4 vertices is easy. Bera, Pashanasangi, and Seshadhri recently extended this to all $H$ on 5 vertices, and further proved that for every $k > 5$ there is a $k$-vertex $H$ which is not easy. They left open the natural problem of characterizing all easy graphs $H$. Bressan has recently introduced a framework for counting subgraphs in degenerate graphs, from which one can extract a sufficient condition for a graph $H$ to be easy. Here we show that this sufficient condition is also necessary, thus fully answering the Bera--Pashanasangi--Seshadhri problem. We further resolve two closely related problems; namely characterizing the graphs that are easy with respect to counting induced copies, and with respect to counting homomorphisms. Our proofs rely on several novel approaches for proving hardness results in the context of subgraph-counting.

中文翻译：

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计算退化图中的子图

我们考虑在输入图 $G$ 中计算固定图 $H$ 的副本数的问题。这是研究最深入的算法图问题之一，具有许多理论和实际应用。当输入$G$有界简并时，我们专注于解决这个问题。这是一个丰富的图族，包含所有没有固定次要的图（例如平面图），以及各种随机过程生成的图（例如优先附着图）。如果有一个线性时间算法来计算有限退化的输入 $G$ 中 $H$ 的副本数量，我们说 $H$ 是容易的。85 年 Chiba 和 Nishizeki 的开创性结果表明，最多 4 个顶点上的每 $H$ 都很容易。Bera、Pashanasangi 和 Seshadhri 最近将其扩展到 5 个顶点上的所有 $H$，并进一步证明，对于每个 $k > 5$ 都有一个 $k$-顶点 $H$，这并不容易。他们留下了表征所有简单图 $H$ 的自然问题。Bressan 最近引入了一种用于计算退化图中子图的框架，从中可以提取一个充分条件，使图 $H$ 变得容易。在这里我们证明这个充分条件也是必要的，从而完全回答了 Bera--Pashanasangi--Seshadhri 问题。我们进一步解决了两个密切相关的问题；即表征在计算诱导副本和计算同态方面容易的图。我们的证明依赖于几种新颖的方法来证明子图计数背景下的硬度结果。他们留下了表征所有简单图 $H$ 的自然问题。Bressan 最近引入了一种用于计算退化图中子图的框架，从中可以提取一个充分条件，使图 $H$ 变得容易。在这里我们证明这个充分条件也是必要的，从而完全回答了 Bera--Pashanasangi--Seshadhri 问题。我们进一步解决了两个密切相关的问题；即表征在计算诱导副本和计算同态方面容易的图。我们的证明依赖于几种新颖的方法来证明子图计数背景下的硬度结果。他们留下了表征所有简单图 $H$ 的自然问题。Bressan 最近引入了一种用于计算退化图中子图的框架，从中可以提取一个充分条件，使图 $H$ 变得容易。在这里我们证明这个充分条件也是必要的，从而完全回答了 Bera--Pashanasangi--Seshadhri 问题。我们进一步解决了两个密切相关的问题；即表征在计算诱导副本和计算同态方面容易的图。我们的证明依赖于几种新颖的方法来证明子图计数背景下的硬度结果。在这里我们证明这个充分条件也是必要的，从而完全回答了 Bera--Pashanasangi--Seshadhri 问题。我们进一步解决了两个密切相关的问题；即表征在计算诱导副本和计算同态方面容易的图。我们的证明依赖于几种新颖的方法来证明子图计数背景下的硬度结果。在这里我们证明这个充分条件也是必要的，从而完全回答了 Bera--Pashanasangi--Seshadhri 问题。我们进一步解决了两个密切相关的问题；即表征在计算诱导副本和计算同态方面容易的图。我们的证明依赖于几种新颖的方法来证明子图计数背景下的硬度结果。