This paper is devoted to the development of a lower-dimensional differential equation for the flow of a fluid with pressure-dependent viscosity and drag, through a porous solid, corresponding to a model that includes generalizations of the Brinkman and Forchheimer models as special subcases. The general equations governing the flows of fluids with pressure-dependent viscosity are nonlinear and much more complicated than the equations that stem from the Brinkman or Forchheimer models. The equation under consideration presents very challenging issues from the viewpoint of numerical approximations of the governing partial differential equation when we take into consideration the dependence of the viscosity and drag on the pressure, especially when the dependence is given by an exponential relationship. We are able to obtain a lower-dimensional equation which is much more amenable to numerical solution than the original system, provided that the exponents that appear in the expression for the viscosity and drag satisfy certain conditions. We compare the predictions of our lower-dimensional model with the numerical solutions of the full model due to Srinivasan et al. (J. Porous Media, vol. 16, pp. 193−203,2013) and find very good agreement with the same. We also show that as the effect of the pressure dependence increases, the volumetric flux exhibits a ceiling in the sense that increasing the pressure gradient further does not lead to an increase in the flux, which is in keeping with physics.

中文翻译：

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压力梯度通过多孔介质流动的雷诺型方程的推导

本文致力于开发一种低维微分方程，用于通过多孔固体流动具有压力相关粘度和阻力的流体，该模型对应于一个模型，该模型包含Brinkman模型和Forchheimer模型的一般化子案例。控制与压力有关的粘度的流体流动的一般方程是非线性的，并且比源自Brinkman或Forchheimer模型的方程要复杂得多。当考虑粘度和阻力对压力的依赖关系时，尤其是当依赖关系由指数关系给出时，从控制偏微分方程的数值逼近的角度来看，所考虑的方程式提出了非常具有挑战性的问题。我们可以得到一个比原始系统更适合数值求解的低维方程，只要在表达式中出现的粘度和阻力指数满足某些条件即可。由于Srinivasan等人，我们将低维模型的预测与完整模型的数值解进行了比较。（J. Porous Media，第16卷，第193-203页，2013年），并发现与它的很好的一致性。我们还表明，随着压力依赖性的增加，体积通量呈现上限，即压力梯度进一步增加不会导致通量增加，这与物理学相符。前提是表达式中出现的粘度和阻力指数满足某些条件。由于Srinivasan等人，我们将低维模型的预测与完整模型的数值解进行了比较。（J. Porous Media，第16卷，第193-203页，2013年），并发现与它的很好的一致性。我们还表明，随着压力依赖性的增加，体积通量呈现上限，即压力梯度进一步增加不会导致通量增加，这与物理学相符。前提是表达式中出现的粘度和阻力指数满足某些条件。由于Srinivasan等人，我们将低维模型的预测与完整模型的数值解进行了比较。（J. Porous Media，第16卷，第193-203页，2013年），并发现与它的很好的一致性。我们还表明，随着压力依赖性的增加，体积通量呈现上限，即压力梯度进一步增加不会导致通量增加，这与物理学相符。