Let a polyhedron $P$ be defined by one of the following ways: (i) $P = \{x \in R^n \colon A x \leq b\}$, where $A \in Z^{(n+k) \times n}$, $b \in Z^{(n+k)}$ and $rank\, A = n$; (ii) $P = \{x \in R_+^n \colon A x = b\}$, where $A \in Z^{k \times n}$, $b \in Z^{k}$ and $rank\, A = k$. And let all rank order minors of $A$ be bounded by $\Delta$ in absolute values. We show that the short rational generating function for the power series $$ \sum\limits_{m \in P \cap Z^n} x^m $$ can be computed with the arithmetic complexity $ O\left(T_{SNF}(d) \cdot d^{k} \cdot d^{\log_2 \Delta}\right), $ where $k$ and $\Delta$ are fixed, $d = \dim P$, and $T_{SNF}(m)$ is the complexity to compute the Smith Normal Form for $m \times m$ integer matrix. In particular, $d = n$ for the case (i) and $d = n-k$ for the case (ii). The simplest examples of polyhedra that meet conditions (i) or (ii) are the simplicies, the subset sum polytope and the knapsack or multidimensional knapsack polytopes. We apply these results to parametric polytopes, and show that the step polynomial representation of the function $c_P(y) = |P_{y} \cap Z^n|$, where $P_{y}$ is parametric polytope, can be computed by a polynomial time even in varying dimension if $P_{y}$ has a close structure to the cases (i) or (ii). As another consequence, we show that the coefficients $e_i(P,m)$ of the Ehrhart quasi-polynomial $$ \left| mP \cap Z^n\right| = \sum\limits_{j = 0}^n e_i(P,m)m^j $$ can be computed by a polynomial time algorithm for fixed $k$ and $\Delta$.

中文翻译：

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$\Delta$-模多面体中的格点计数

让多面体 $P$ 由以下方式之一定义： (i) $P = \{x \in R^n \colon A x \leq b\}$，其中 $A \in Z^{(n +k) \times n}$, $b \in Z^{(n+k)}$ and $rank\, A = n$; (ii) $P = \{x \in R_+^n \colon A x = b\}$，其中 $A \in Z^{k \times n}$, $b \in Z^{k}$和 $rank\，A = k$。并让 $A$ 的所有排名次要的绝对值都以 $\Delta$ 为界。我们证明了幂级数 $$ \sum\limits_{m \in P \cap Z^n} x^m $$ 的短有理生成函数可以用算术复杂度 $ O\left(T_{SNF} (d) \cdot d^{k} \cdot d^{\log_2 \Delta}\right)，$ 其中 $k$ 和 $\Delta$ 是固定的，$d = \dim P$ 和 $T_{SNF }(m)$ 是计算 $m \times m$ 整数矩阵的 Smith 范式的复杂度。特别地，对于情况(i)，$d = n$，对于情况(ii)，$d = nk$。满足条件 (i) 或 (ii) 的多面体的最简单示例是单纯形、子集和多面体和背包或多维背包多面体。我们将这些结果应用于参数多面体，并表明函数 $c_P(y) = |P_{y} \cap Z^n|$ 的阶跃多项式表示，其中 $P_{y}$ 是参数多面体，可以是如果 $P_{y}$ 与情况 (i) 或 (ii) 具有接近的结构，则即使在不同的维度上也可以通过多项式时间计算。作为另一个结果，我们证明了 Ehrhart 拟多项式 $$ \left| 的系数 $e_i(P,m)$ mP \cap Z^n\right| = \sum\limits_{j = 0}^n e_i(P,m)m^j $$ 可以通过多项式时间算法计算固定 $k$ 和 $\Delta$。我们将这些结果应用于参数多面体，并表明函数 $c_P(y) = |P_{y} \cap Z^n|$ 的阶跃多项式表示，其中 $P_{y}$ 是参数多面体，可以是如果 $P_{y}$ 与情况 (i) 或 (ii) 具有接近的结构，则即使在不同的维度上也可以通过多项式时间计算。作为另一个结果，我们证明了 Ehrhart 拟多项式 $$ \left| 的系数 $e_i(P,m)$ mP \cap Z^n\right| = \sum\limits_{j = 0}^n e_i(P,m)m^j $$ 可以通过多项式时间算法计算固定 $k$ 和 $\Delta$。我们将这些结果应用于参数多面体，并表明函数 $c_P(y) = |P_{y} \cap Z^n|$ 的阶跃多项式表示，其中 $P_{y}$ 是参数多面体，可以是如果 $P_{y}$ 与情况 (i) 或 (ii) 具有接近的结构，则即使在不同的维度上也可以通过多项式时间计算。作为另一个结果，我们证明了 Ehrhart 拟多项式 $$ \left| 的系数 $e_i(P,m)$ mP \cap Z^n\right| = \sum\limits_{j = 0}^n e_i(P,m)m^j $$ 可以通过多项式时间算法计算固定 $k$ 和 $\Delta$。我们证明了 Ehrhart 拟多项式 $$ \left| 的系数 $e_i(P,m)$ mP \cap Z^n\right| = \sum\limits_{j = 0}^n e_i(P,m)m^j $$ 可以通过多项式时间算法计算固定 $k$ 和 $\Delta$。我们证明了 Ehrhart 拟多项式 $$ \left| 的系数 $e_i(P,m)$ mP \cap Z^n\right| = \sum\limits_{j = 0}^n e_i(P,m)m^j $$ 可以通过多项式时间算法计算固定 $k$ 和 $\Delta$。