We prove a general structural theorem for a wide family of local algorithms, which includes property testers, local decoders, and PCPs of proximity. Namely, we show that the structure of every algorithm that makes $q$ adaptive queries and satisfies a natural robustness condition admits a sample-based algorithm with $n^{1- 1/O(q^2 \log^2 q)}$ sample complexity, following the definition of Goldreich and Ron (TOCT 2016). We prove that this transformation is nearly optimal. Our theorem also admits a scheme for constructing privacy-preserving local algorithms. Using the unified view that our structural theorem provides, we obtain results regarding various types of local algorithms, including the following. - We strengthen the state-of-the-art lower bound for relaxed locally decodable codes, obtaining an exponential improvement on the dependency in query complexity; this resolves an open problem raised by Gur and Lachish (SODA 2020). - We show that any (constant-query) testable property admits a sample-based tester with sublinear sample complexity; this resolves a problem left open in a work of Fischer, Lachish, and Vasudev (FOCS 2015) by extending their main result to adaptive testers. - We prove that the known separation between proofs of proximity and testers is essentially maximal; this resolves a problem left open by Gur and Rothblum (ECCC 2013, Computational Complexity 2018) regarding sublinear-time delegation of computation. Our techniques strongly rely on relaxed sunflower lemmas and the Hajnal-Szemer\'edi theorem.

中文翻译：

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用于编码、测试和隐私的局部算法的结构定理

我们证明了一个广泛的本地算法系列的一般结构定理，其中包括属性测试器、本地解码器和邻近性 PCP。也就是说，我们证明了每个算法的结构都可以进行 $q$ 自适应查询并满足自然鲁棒性条件，它允许基于样本的算法 $n^{1-1/O(q^2\log^2q)} $ 样本复杂度，遵循 Goldreich 和 Ron 的定义（TOCT 2016）。我们证明这种转换几乎是最优的。我们的定理也承认了一种构建隐私保护本地算法的方案。使用我们的结构定理提供的统一视图，我们获得了关于各种类型的局部算法的结果，包括以下内容。- 我们加强了最先进的下限，以放松本地可解码代码，在查询复杂度的依赖上获得指数级的改进；这解决了 Gur 和 Lachish 提出的一个悬而未决的问题（SODA 2020）。- 我们证明任何（常量查询）可测试属性都允许具有次线性样本复杂度的基于样本的测试器；这解决了 Fischer、Lachish 和 Vasudev（FOCS 2015）的工作中未解决的问题，将他们的主要结果扩展到自适应测试仪。- 我们证明邻近证明和测试者之间的已知分离本质上是最大的；这解决了 Gur 和 Rothblum（ECCC 2013，Computational Complexity 2018）关于计算的次线性时间委派的问题。我们的技术强烈依赖于宽松的向日葵引理和 Hajnal-Szemer\'edi 定理。- 我们证明任何（常量查询）可测试属性都允许具有次线性样本复杂度的基于样本的测试器；这解决了 Fischer、Lachish 和 Vasudev（FOCS 2015）的工作中未解决的问题，将他们的主要结果扩展到自适应测试仪。- 我们证明邻近证明和测试者之间的已知分离本质上是最大的；这解决了 Gur 和 Rothblum（ECCC 2013，Computational Complexity 2018）关于计算的次线性时间委派的问题。我们的技术强烈依赖于宽松的向日葵引理和 Hajnal-Szemer\'edi 定理。- 我们证明任何（常量查询）可测试属性都允许具有次线性样本复杂度的基于样本的测试器；这解决了 Fischer、Lachish 和 Vasudev（FOCS 2015）的工作中未解决的问题，将他们的主要结果扩展到自适应测试仪。- 我们证明邻近证明和测试者之间的已知分离本质上是最大的；这解决了 Gur 和 Rothblum（ECCC 2013，Computational Complexity 2018）关于计算的次线性时间委派的问题。我们的技术强烈依赖于宽松的向日葵引理和 Hajnal-Szemer\'edi 定理。- 我们证明邻近证明和测试者之间的已知分离本质上是最大的；这解决了 Gur 和 Rothblum（ECCC 2013，Computational Complexity 2018）关于计算的次线性时间委派的问题。我们的技术强烈依赖于宽松的向日葵引理和 Hajnal-Szemer\'edi 定理。- 我们证明邻近证明和测试者之间的已知分离本质上是最大的；这解决了 Gur 和 Rothblum（ECCC 2013，Computational Complexity 2018）关于计算的次线性时间委派的问题。我们的技术强烈依赖于宽松的向日葵引理和 Hajnal-Szemer\'edi 定理。