We prove #P-completeness results for counting edge colorings on simple graphs. These strengthen the corresponding results on multigraphs from [4]. We prove that for any $\kappa \ge r \ge 3$ counting $\kappa$-edge colorings on $r$-regular simple graphs is #P-complete. Furthermore, we show that for planar $r$-regular simple graphs where $r \in \{3, 4, 5\}$ counting edge colorings with \k{appa} colors for any $\kappa \ge r$ is also #P-complete. As there are no planar $r$-regular simple graphs for any $r > 5$, these statements cover all interesting cases in terms of the parameters $(\kappa, r)$.

中文翻译：

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计算简单图形边缘着色的复杂性

我们证明了在简单图上计算边缘着色的 #P 完整性结果。这些加强了[4]中多重图的相应结果。我们证明，对于任何 $\kappa \ge r \ge 3$，在 $r$-regular 简单图上计算 $\kappa$-edge 着色是 #P-complete。此外，我们表明对于平面 $r$-regular 简单图，其中 $r \in \{3, 4, 5\}$ 用 \k{appa} 颜色计算任何 $\kappa \ge r$ 的边着色也是#P-完成。由于对于任何 $r > 5$ 都没有平面 $r$-regular 简单图，这些陈述涵盖了参数 $(\kappa, r)$ 方面所有有趣的情况。