Archiv der Mathematik ( IF 0.6 ) Pub Date : 2020-10-13 , DOI: 10.1007/s00013-020-01534-4 Alberto Fiorenza , Pankaj Jain
If \(\psi :[0,\ell ]\rightarrow [0,\infty [\) is absolutely continuous, nondecreasing, and such that \(\psi (\ell )>\psi (0)\), \(\psi (t)>0\) for \(t>0\), then for \(f\in L^1(0,\ell )\), we have
$$\begin{aligned} \Vert f\Vert _{1,\psi ,(0,\ell )}:=\int \limits _0^\ell \frac{\psi '(t)}{\psi (t)^2}\int \limits _0^tf^*(s)\psi (s)dsdt\approx \int \limits _0^\ell |f(x)|dx=:\Vert f\Vert _{L^1(0,\ell )},\quad (*) \end{aligned}$$where the constant in \( > rsim \) depends on \(\psi \) and \(\ell \). Here by \(f^*\) we denote the decreasing rearrangement of f. When applied with f replaced by \(|f|^p\), \(1<p<\infty \), there exist functions \(\psi \) so that the inequality \(\Vert |f|^p\Vert _{1,\psi ,(0,\ell )}\le \Vert |f|^p\Vert _{L^1(0,\ell )}\) is not rougher than the classical one-dimensional integral Hardy inequality over bounded intervals \((0,\ell )\). We make an analysis on the validity of \((*)\) under much weaker assumptions on the regularity of \(\psi \), and we get a version of Hardy’s inequality which generalizes and/or improves existing results.
中文翻译：
Lebesgue空间的等价范式族
如果\（\ psi：[0，\ ell] \ rightarrow [0，\ infty [\）是绝对连续的，且不递减，并且\（\ psi（\ ell）> \ psi（0）\），\（ \ PSI（T）> 0 \）为\（T> 0 \） ，则对于以L \（F \ ^ 1（0，\ ELL）\），我们有
$$ \ begin {aligned} \ Vert f \ Vert _ {1，\ psi，（0，\ ell）}：= \ int \ limits _0 ^ \ ell \ frac {\ psi'（t）} {\ psi（ t）^ 2} \ int \ limits _0 ^ tf ^ *（s）\ psi（s）dsdt \ approx \ int \ limits _0 ^ \ ell | f（x）| dx =：\ Vert f \ Vert _ {L ^ 1（0，\ ell）}，\ quad（*）\ end {aligned} $$\（> rsim \）中的常数取决于\（\ psi \）和\（\ ell \）。在这里，用\（f ^ * \）表示f的递减重排。当用f替换为\（| f | ^ p \），\（1 <p <\ infty \）时，存在函数\（\ psi \\），因此不等式\（\ Vert | f | ^ p \ Vert _ {1，\ psi，（0，\ ell）} \ le \ Vert | f | ^ p \ Vert _ {L ^ 1（0，\ ell}} \）不比经典的一维积分更粗糙有界区间\（（0，\ ell）\）上的Hardy不等式。我们对\（（*）\）的有效性进行分析在对\（\ psi \）的正则性的假设要弱得多的情况下，我们得到了Hardy不等式的一个版本，可以推广和/或改善现有的结果。
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