We work with $FI$-modules over a small preadditive category $\mathcal R$, viewed as a ring with several objects. Our aim is to study torsion theories for $FI$-modules. We are especially interested in torsion theories on finitely generated $FI$-modules and the category of what we call "shift finitely generated" $FI$-modules. We also apply these methods to study inductive descriptions of $FI$-modules over $\mathcal R$.

中文翻译：

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预加性范畴和扭转理论上的 FI 模块

我们在一个小的预加类别 $\mathcal R$ 上使用 $FI$-modules，将其视为具有多个对象的环。我们的目标是研究 $FI$ 模块的扭转理论。我们对有限生成的 $FI$-modules 的扭转理论和我们称之为“移位有限生成”$FI$-modules 的范畴特别感兴趣。我们还应用这些方法来研究 $\mathcal R$ 上 $FI$-modules 的归纳描述。