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Simultaneous Feedback Edge Set: A Parameterized Perspective
Algorithmica ( IF 1.1 ) Pub Date : 2020-10-10 , DOI: 10.1007/s00453-020-00773-9
Akanksha Agrawal , Fahad Panolan , Saket Saurabh , Meirav Zehavi

Agrawal et al. (ACM Trans Comput Theory 10(4):18:1–18:25, 2018. https://doi.org/10.1145/3265027 ) studied a simultaneous variant of the classic Feedback Vertex Set problem, called Simultaneous Feedback Vertex Set (Sim-FVS). Here, we consider the edge variant of the problem, namely, Simultaneous Feedback Edge Set (Sim-FES). In this problem, the input is an n-vertex graph G, a positive integer k, and a coloring function col: $$E(G) \rightarrow 2^{[\alpha ]}$$ , and the objective is to check whether there is an edge subset S of cardinality k in G such that for each $$i \in [\alpha ]$$ , $$G_i - S$$ is acyclic. Unlike the vertex variant of the problem, when $$\alpha =1$$ , the problem is equivalent to finding a maximal spanning forest and hence it is polynomial time solvable. We show that for $$\alpha =3$$ , Sim-FES is NP-hard, and does not admit an algorithm of running time $$2^{o(k)}n^{{{\mathcal {O}}}(1)}$$ unless ETH fails. This hardness result is complimented by an FPT algorithm for Sim-FES running in time $$2^{\omega k \alpha +\alpha \log k} n^{{{\mathcal {O}}}(1)}$$ where $$\omega$$ is the exponent in the running time of matrix multiplication. The same algorithm gives a polynomial time algorithm for the case when $$\alpha =2$$ . We also give a kernel for Sim-FES with $$(k\alpha )^{{\mathcal {O}}(\alpha )}$$ vertices. Finally, we consider a “dual” version of the problem called Maximum Simultaneous Acyclic Subgraph and give an FPT algorithm with running time $$2^{\omega q \alpha }n^{{\mathcal {O}}(1)}$$ , where q is the number of edges in the output subgraph.

中文翻译:

同时反馈边缘集:参数化视角

阿格拉瓦尔等人。(ACM Trans Comput Theory 10(4):18:1–18:25, 2018. https://doi.org/10.1145/3265027 )研究了经典反馈顶点集问题的同时变体,称为同步反馈顶点集( Sim-FVS)。在这里,我们考虑问题的边缘变体,即同步反馈边缘集(Sim-FES)。在这个问题中,输入是一个 n 顶点图 G、一个正整数 k 和一个着色函数 col: $$E(G) \rightarrow 2^{[\alpha ]}$$ ,目标是检查G 中是否存在基数为 k 的边子集 S 使得对于每个 $$i \in [\alpha ]$$ ,$$G_i - S$$ 是无环的。与问题的顶点变体不同,当 $$\alpha =1$$ 时,该问题等价于寻找最大生成森林,因此它是多项式时间可解的。我们证明对于 $$\alpha =3$$ ,Sim-FES 是 NP-hard,并且不承认运行时间为 $$2^{o(k)}n^{{{\mathcal {O}}}(1)}$$ 的算法,除非 ETH 失败。这个硬度结果得到了 Sim-FES 的 FPT 算法的补充 $$2^{\omega k \alpha +\alpha \log k} n^{{{\mathcal {O}}}(1)}$$其中 $$\omega$$ 是矩阵乘法运行时间的指数。对于 $$\alpha =2$$ 的情况,相同的算法给出了多项式时间算法。我们还给出了一个带有 $$(k\alpha )^{{\mathcal {O}}(\alpha )}$$ 顶点的 Sim-FES 内核。最后,我们考虑称为最大同时非循环子图的问题的“双重”版本,并给出运行时间为 $$2^{\omega q \alpha }n^{{\mathcal {O}}(1)}$ 的 FPT 算法$ ,其中 q 是输出子图中的边数。这个硬度结果得到了 Sim-FES 的 FPT 算法的补充 $$2^{\omega k \alpha +\alpha \log k} n^{{{\mathcal {O}}}(1)}$$其中 $$\omega$$ 是矩阵乘法运行时间的指数。对于 $$\alpha =2$$ 的情况,相同的算法给出了多项式时间算法。我们还给出了一个带有 $$(k\alpha )^{{\mathcal {O}}(\alpha )}$$ 顶点的 Sim-FES 内核。最后,我们考虑称为最大同时非循环子图的问题的“双重”版本,并给出运行时间为 $$2^{\omega q \alpha }n^{{\mathcal {O}}(1)}$ 的 FPT 算法$ ,其中 q 是输出子图中的边数。这个硬度结果得到了 Sim-FES 的 FPT 算法的补充 $$2^{\omega k \alpha +\alpha \log k} n^{{{\mathcal {O}}}(1)}$$其中 $$\omega$$ 是矩阵乘法运行时间的指数。对于 $$\alpha =2$$ 的情况,相同的算法给出了多项式时间算法。我们还给出了一个带有 $$(k\alpha )^{{\mathcal {O}}(\alpha )}$$ 顶点的 Sim-FES 内核。最后,我们考虑称为最大同时非循环子图的问题的“双重”版本,并给出运行时间为 $$2^{\omega q \alpha }n^{{\mathcal {O}}(1)}$ 的 FPT 算法$ ,其中 q 是输出子图中的边数。对于 $$\alpha =2$$ 的情况,相同的算法给出了多项式时间算法。我们还给出了一个带有 $$(k\alpha )^{{\mathcal {O}}(\alpha )}$$ 顶点的 Sim-FES 内核。最后,我们考虑称为最大同时非循环子图的问题的“双重”版本,并给出运行时间为 $$2^{\omega q \alpha }n^{{\mathcal {O}}(1)}$ 的 FPT 算法$ ,其中 q 是输出子图中的边数。对于 $$\alpha =2$$ 的情况,相同的算法给出了多项式时间算法。我们还给出了一个带有 $$(k\alpha )^{{\mathcal {O}}(\alpha )}$$ 顶点的 Sim-FES 内核。最后,我们考虑称为最大同时非循环子图的问题的“双重”版本,并给出运行时间为 $$2^{\omega q \alpha }n^{{\mathcal {O}}(1)}$ 的 FPT 算法$ ,其中 q 是输出子图中的边数。
更新日期:2020-10-10
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