Let $d(\varepsilon)$ and $\mathcal D(\delta)$ denote the Hausdorff dimension of the Julia sets of the polynomials $p_\varepsilon(z)=z^2+1/4+\varepsilon$ and $f_\delta(z)=(1+\delta)z+z^2$ respectively. In this paper we will study the directional derivative of the functions $d(\varepsilon)$ and $\mathcal D(\delta)$ along directions landing at the parameter $0$, which corresponds to $1/4$ in the case of family $z^2+c$. We will consider all directions, except the one $\varepsilon\in\mathbb{R}^+$ (or two imaginary directions in the $\delta$ parametrization) which is outside the Mandelbrot set and is related to the parabolic implosion phenomenon. We prove that for directions in the closed left half-plane the derivative of $d$ is negative. Computer calculations show that it is negative except a cone (with opening angle approximately $150^\circ$) around $\mathbb{R}^+$.

中文翻译：

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关于二次多项式 Julia 集的 Hausdorff 维数在 1/4 处的方向导数

令 $d(\varepsilon)$ 和 $\mathcal D(\delta)$ 表示多项式 $p_\varepsilon(z)=z^2+1/4+\varepsilon$ 和 $ 的 Julia 集的 Hausdorff 维数f_\delta(z)=(1+\delta)z+z^2$ 分别。在本文中，我们将研究函数 $d(\varepsilon)$ 和 $\mathcal D(\delta)$ 沿着落在参数 $0$ 的方向的方向导数，在家庭的情况下对应于 $1/4$ $z^2+c$。我们将考虑所有方向，除了一个 $\varepsilon\in\mathbb{R}^+$（或 $\delta$ 参数化中的两个假想方向），它在 Mandelbrot 集之外并且与抛物线内爆现象有关。我们证明对于闭合左半平面中的方向，$d$ 的导数是负的。