This paper deals with a stage-structured predator–prey system which incorporates cannibalism in the predator population and harvesting in both population. The predator population is categorized into two divisions; adult predator and juvenile predator. The adult predator and prey species are harvested via hypothesis of catch-per-unit-effort, whereas juveniles are safe from being harvested. Mathematically, the dynamic behavior of the system such as existing conditions of equilibria with their stability is studied. The global asymptotic stability of prey-free equilibrium point and nonzero equilibrium point, if they exist, is proved by considering respective Lyapunov functions. The system undergoes transcritical and Hopf–Andronov bifurcations. The impacts of predator harvesting rate and prey harvesting rate on the system are analyzed by taking them as bifurcation parameters. The route to chaos is discussed by showing maximum Lyapunov exponent to be positive with sensitivity dependence on the initial conditions. The chaotic behavior of the system is confirmed by positive maximum Lyapunov exponent and non-integer Kaplan–Yorke dimension. Numerical simulations are executed to probe our theoretic findings. Also, the optimal harvesting policy is studied by applying Pontryagin’s maximum principle. Harvesting effort being an emphatic control instrument is considered to protect prey–predator population, and preserve them also through an optimal level.

中文翻译：

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食人捕食系统中的混沌检测和最优控制与收获

本文讨论了一个阶段结构的捕食者 - 猎物系统，该系统将捕食者群体中的同类相食和两个群体中的收获相结合。捕食者种群分为两个部分；成年捕食者和幼年捕食者。成年捕食者和猎物是通过每单位努力捕获量的假设来捕捞的，而幼鱼则不会被捕捞。在数学上，研究了系统的动态行为，例如存在的平衡条件及其稳定性。通过考虑各自的 Lyapunov 函数，证明了无猎物平衡点和非零平衡点（如果存在）的全局渐近稳定性。该系统经历跨临界和 Hopf-Andronov 分岔。以捕食者捕获率和猎物捕获率作为分岔参数，分析了捕食者捕获率和猎物捕获率对系统的影响。通过显示最大 Lyapunov 指数为正且灵敏度依赖于初始条件来讨论通往混沌的途径。系统的混沌行为由正的最大 Lyapunov 指数和非整数 Kaplan-Yorke 维数证实。执行数值模拟来探索我们的理论发现。此外，通过应用庞特里亚金最大原理研究了最优收获策略。收获努力作为一种强有力的控制工具被认为是为了保护猎物 - 捕食者种群，并通过最佳水平保护它们。通过显示最大 Lyapunov 指数为正且灵敏度依赖于初始条件来讨论通往混沌的途径。系统的混沌行为由正的最大 Lyapunov 指数和非整数 Kaplan-Yorke 维数证实。执行数值模拟来探索我们的理论发现。此外，通过应用庞特里亚金最大原理研究了最优收获策略。收获努力作为一种强有力的控制工具被认为是为了保护猎物 - 捕食者种群，并通过最佳水平保护它们。通过显示最大 Lyapunov 指数为正且灵敏度依赖于初始条件来讨论通往混沌的途径。系统的混沌行为由正的最大 Lyapunov 指数和非整数 Kaplan-Yorke 维数证实。执行数值模拟来探索我们的理论发现。此外，通过应用庞特里亚金最大原理研究了最优收获策略。收获努力作为一种强有力的控制工具被认为是为了保护猎物 - 捕食者种群，并通过最佳水平保护它们。应用Pontryagin最大原理研究了最优收获策略。收获努力作为一种强有力的控制工具被认为是为了保护猎物 - 捕食者种群，并通过最佳水平保护它们。应用Pontryagin最大原理研究了最优收获策略。收获努力作为一种强有力的控制工具被认为是为了保护猎物 - 捕食者种群，并通过最佳水平保护它们。