A family $\mathcal{A}$ of $k$-subsets of $\{1,2,\dots, N\}$ is a Sidon system if the sumsets $A+B$, $A,B\in \mathcal{A}$ are pairwise distinct. We show that the largest cardinality $F_k(N)$ of a Sidon system of $k$-subsets of $[N]$ satisfies $F_k(N)\le {N-1\choose k-1}+N-k$ and the asymptotic lower bound $F_k(N)=\Omega_k(N^{k-1})$. More precise bounds on $F_k(N)$ are obtained for $k\le 3$. We also obtain the threshold probability for a random system to be Sidon for $k \geq 2$.

中文翻译：

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西顿套装系统

如果一个家庭$ \ mathcal {A} $ of $ k $-$ \ {1,2，\ dots，N \} $的子集是西顿系统，那么它们的总和为$ A + B $，$ A，B \ mathcal {A} $是成对的。我们证明，在$ [$] $子集的$ k $子集的西顿系统中，最大基数$ F_k（N）$满足$ F_k（N）\ le {N-1 \ choose k-1} + Nk $并且渐近下界$ F_k（N）= \ Omega_k（N ^ {k-1}）$。对于$ k \ le 3 $，可以获得$ F_k（N）$的更精确边界。我们还获得了一个随机系统为$ k \ geq 2 $的Sidon的阈值概率。