Let $S$ be a finite set of primes. We prove that a form of finite Galois descent obstruction is the only obstruction to the existence of $\mathbb{Z}_{S}$-points on integral models of Hilbert modular varieties, extending a result of D.Helm and F.Voloch about modular curves. Let $L$ be a totally real field. Under (a special case of) the absolute Hodge conjecture and a weak Serre's conjecture for mod $\ell$ representations of the absolute Galois group of $L$, we prove that the same holds also for the $\mathcal{O}_{L,S}$-points.

中文翻译：

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希尔伯特模变体的有限下降障碍

令 $S$ 是一组有限的素数。我们证明了一种形式的有限伽罗瓦下降障碍是 Hilbert 模变体积分模型上 $\mathbb{Z}_{S}$-点存在的唯一障碍，扩展了 D.Helm 和 F.Voloch 的结果关于模曲线。让 $L$ 成为一个完全真实的领域。在 $L$ 的绝对伽罗瓦群的 mod $\ell$ 表示的绝对霍奇猜想和弱塞尔猜想的（特殊情况）下，我们证明这同样适用于 $\mathcal{O}_{ L,S}$-点。